/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij

Zadanie nr 3641661

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na okręgu o środku S wybrano punkty A ,B,C ,D,E w ten sposób, że odcinek AB jest średnicą okręgu oraz |∡BCD | = |∡BEC | (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że proste AB i CD są prostopadłe.

Rozwiązanie

Niech F będzie punktem wspólnym prostych AB i CD i oznaczmy ∡BCD = ∡BEC = α .

PIC

Sposób I

Wiemy, że AB jest średnicą okręgu, więc ∡AEB = 90 ∘ . Ponadto, czworokąt ABCE jest wpisany w okrąg, więc

∡ABC = 1 80∘ − ∡AEC = 180∘ − (90∘ + α) = 90 ∘ − α .

Stąd (patrzymy na trójkąt CF B )

∡BF C = 180∘ − ∡BCF − ∡F BC = 180∘ − α − (90∘ − α) = 9 0∘.

Sposób II

Jeżeli dorysujemy odcinek AC , to trójkąt ABC jest prostokątny (bo AB jest średnicą okręgu). Ponadto, trójkąt ABC ma dwa takie same kąty jak trójkąt CBF :

∡ABC = ∡CBF i ∡BAC = ∡BEC = ∡BCD .

To oznacza, że trójkąt CBF też jest prostokątny i ∡BF C = 90 ∘ .

Wersja PDF