/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij

Zadanie nr 5334642

Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.

PIC

Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od √ -- 2− 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od dorysowania, wszystkiego co się da.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że

√ -- 2r+ 2 < CD + DA = AC = 2 2 / : 2 √ -- √ -- r+ 1 < 2 ⇒ r < 2− 1.

Sposób II

Popatrzmy na trójkąt prostokątny ACK . Mamy w nim

CK = AK = 2 √ -- AC = BC + BD + AD = r 2+ r + 2.

Wystarczy teraz napisać twierdzenie Pitagorasa, lub jeszcze prościej, zauważyć, że -- AC = AK √ 2 (przekątna w kwadracie CKAL ). Mamy więc

√ -- AC√ -= AK 2 √ -- r 2+ r+ 2 = 2 2 √ -- √ -- r( 2+ 1) = 2( 2 − 1) 2 √ -- 2 √ -- √ -- r = √-------⋅( 2 − 1) < ------⋅( 2 − 1) = 2− 1. 2 + 1 1 + 1

Sposób III

Tym razem popatrzmy na trójkąt prostokątny ABS . Jego boki mają długości AS = BS = 2− r oraz AB = 2+ r . Możemy napisać w nim twierdzenie Pitagorasa, albo lepiej zauważyć, że jest to połówka kwadratu, czyli

√ -- AB = AS 2 √ -- 2+ r =√ (2− r)√ 2- r(1+ 2) = 2( 2 − 1) √ -- √ -- √ -- r = √--2----⋅( 2 − 1) < --2---⋅( 2 − 1) = 2− 1. 2 + 1 1 + 1
Wersja PDF