/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij

Zadanie nr 5351690

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek obwodu większego z tych okręgów do obwodu mniejszego jest równy 3 + 2√ 2- .

PIC

Rozwiązanie

Zaczynamy od dorysowania, wszystkiego co się da.

PIC

Sposób I

Popatrzmy na trójkąt prostokątny CKB . Mamy w nim

CK = BK = R √ -- CB = CA + AD + DB = r 2 + r + R .

Wystarczy teraz napisać twierdzenie Pitagorasa, lub jeszcze prościej, zauważyć, że √ -- CB = CK 2 (przekątna w kwadracie CKBL ). Mamy więc

√ -- CB = CK 2 √ -- √ -- r √2+- r+ R = R√ -2 r( 2+ 1) = R ( 2− 1 ) √ -- √ -- R- --2-+-1- (--2-+-1)2- √ -- r = √ 2-− 1 = 2 − 1 = 3 + 2 2.

Stąd

2πR-- R- √ -- 2 πr = r = 3 + 2 2.

Sposób II

Tym razem popatrzmy na trójkąt prostokątny ASB . Jego boki mają długości AS = BS = R − r oraz AB = R + r . Możemy napisać w nim twierdzenie Pitagorasa, albo lepiej zauważyć, że jest to połówka kwadratu, czyli

AB = AS √ 2- √ -- R + r = (R − r) 2 √ -- √ -- r(1+ 2) = R ( 2− 1 ) √ -- √ -- 2 √ -- R-= √-2-+-1-= (--2-+-1)--= 3 + 2 2. r 2 − 1 2 − 1

Stąd

√ -- 2πR--= R- = 3 + 2 2. 2 πr r
Wersja PDF