/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij

Zadanie nr 5505058

Punkty P1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P9P20 i P6P 13 .

PIC

Udowodnij, że trójkąt AP 20P13 jest równoramienny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Połączmy końce cięciw ze środkiem okręgu.

PIC

Zauważmy, że kąty środkowe ∡P 6OP 20 i ∡P 9OP 13 są oparte na łukach, które stanowią odpowiednio 1204 = 512- i 424 = 16 całego okręgu. Mamy zatem

1- 1- -5- ∘ 1- ∘ ∘ ∡P 6P13P20 = 2 ∡P 6OP 20 = 2 ⋅12 ⋅36 0 = 2 ⋅150 = 75 1 1 1 1 ∡P 9P20P13 = --∡P 9OP 13 = --⋅--⋅360 ∘ = --⋅60∘ = 3 0∘. 2 2 6 2

Patrzymy teraz na trójkąt AP 20P13 .

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡P 13AP 20 = 180 − ∡P 6P13P20 − ∡P 9P20P13 = 18 0 − 75 − 30 = 75 .

Sposób II

Tym razem dorysujmy cięciwę P 20P 23 . Zauważmy, że łuki łączące P 13 i P 20 oraz P 6 i P 23 mają tę samą długość, więc

∡P 20P 23P 13 = ∡P 6P13P23.

To oznacza, że cięciwy P6P 13 i P 23P20 są równoległe. Zatem

∡P AP = ∡P P P = 1∡P OP . 13 20 9 20 23 2 9 23

Teraz wystarczy zauważyć, że każdy z kątów ∡P 9OP 23 i P6OP 20 jest oparty na łuku stanowiącym 10= -5 24 12 całego okręgu. W takim razie

∡P AP = ∡P P P = 1-∡P OP = 1∡P OP = ∡P P P . 13 20 9 20 23 2 9 23 2 6 20 6 13 20
Wersja PDF