/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij

Zadanie nr 6013926

Okrąg dopisany do boku AB trójkąta ABC to okrąg, który jest jednocześnie styczny do tego boku, oraz do przedłużeń boków AC i BC .


PIC


Wykaż, że jeżeli M jest punktem styczności tego okręgu z przedłużeniem boku AC to długość odcinka CM jest równa połowie obwodu trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy punkty styczności okręgu dopisanego z bokiem AB i przedłużeniem boku BC przez D i N odpowiednio.


PIC


Przyjmijmy ponadto oznaczenia jak na rysunku, czyli AC = b,BC = a,AD = AM = x ,BD = BN = y . Odcinki CM i CN jako odcinki stycznych mają tę samą długość więc

CM = b + x CM = CN = a + y.

Dodając te dwie równości stronami mamy

2CM = a+ b + x + y = a+ b+ c a+--b+-c- CM = 2 ,

gdzie oznaczyliśmy c = x+ y = AB .

Wersja PDF
spinner