/Studia/Podstawy matematyki/Dwumian Newtona

Zbiory

Zbiory i ich elementy Przypomnijmy, że zbiór składa się z elementów. Jeżeli a jest elementem zbioru X to piszemy

a ∈ X

i czytamy „a należy do zbioru X ”.

Jeżeli a nie jest elementem zbioru X to piszemy

a ⁄∈ X .

Jeżeli każdy element zbioru A jest jednocześnie elementem zbioru B , to mówimy, że A jest podzbiorem zbioru B (lub, że A zawiera się w B ) i piszemy

A ⊆ B .

Mówimy, że dwa zbiory A i B są równe jeżeli składają się dokładnie z tych samych elementów. Piszemy wtedy

A = B .

Jeżeli A ⊆ B oraz A ⁄= B to mówimy, że A jest podzbiorem właściwym B . Piszemy wtedy

A ⊊ B .

Zbiór, który nie ma żadnych elementów nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem ∅ .

Zauważmy, że dla dowolnego zbioru A mamy ∅ ⊆ A .

Różne sposoby definiowania zbiorów 1. Opis słowny. Tego typu definicje zbiorów stosujemy co rusz w naszym codziennym życiu, często nie zdając sobie nawet z tego sprawy.

Mówiąc „wszyscy uczniowie klasy IIa” mamy na myśli zbiór składający się z uczniów tej klasy.

Opis słowny pozwala nam definiować zbiory, których nawet nie jesteśmy w stanie sobie wyobrazić, np. „zbiór wszystkich atomów we wszechświecie”.

2. Rysunek. Schematyczne rysunki obrazujące zbiory jako „worki z elementami” są często bardzo wygodne, bo pozwalają łatwo ilustrować różne ich własności.

Lewy diagram przedstawia (symbolicznie) zbiór A , który ma 6 elementów.

ZINFO-FIGURE

Zwróćmy uwagę, że sam diagram nic nam nie mówi o tym, jaka jest natura elementów zbioru A (czy to są liczby, jabłka, a może jeszcze coś innego). O tego typu diagramie mówimy, że jest abstrakcyjny, bo abstrahuje od (nie uwzględnia) natury zbioru A oraz jego elementów.
Często posuwamy się jeszcze dalej i rysujemy zbiory w ogóle nie zaznaczając ich elementów. Tak właśnie rozumiemy prawy diagram, który ilustruje możliwe relacje między elementami dwóch zbiorów B i C . Pomimo, że nie zaznaczyliśmy ani jednego elementu zbiorów B i C , wymowa diagramu powinna być jasna: jeżeli mamy dwa zbiory B i C to mogą być elementy, które należą tylko do B , elementy które należą tylko do C , oraz elementy, które należą do obu zbiorów naraz.

Poniższy diagram

ZINFO-FIGURE

jest symboliczną ilustracją trzech zbiorów spełniających warunek

C ⊆ B ⊆ A .

3. Wypisanie elementów. W przypadku zbiorów skończonych możemy wypisać wszystkie elementy zbioru. Robimy to umieszczając elementy zbioru w klamerkach: { } .

Zbiór zawierający 5 pierwszych liter alfabetu możemy zapisać w postaci

{a, b, c, d, e}.

W przypadku większych zbiorów stosujemy czasem notację z wielokropkiem, licząc na to, że czytelnik domyśli się o jaki zbiór nam chodzi. Np. domyślamy się, że zapis

{2,4,6,...,1 00}

ma oznaczać zbiór parzystych liczb naturalnych nie większych niż 100.
Podobną konwencję stosuje się też czasem w przypadku zbiorów nieskończonych, np. domyślamy się, że zapis

{2 ,4,6,...}

ma oznaczać zbiór liczb parzystych.

Zbiór zawiera tylko informację o tym, czy dany element do niego należy, czy nie. Nie zawiera natomiast informacji o kolejności elementów, ani o tym, że elementy są zwarte w zbiorze kilka razy. Np. każdy z zapisów

{ 1,2,3}, {2,1,3} , {1 ,1,3,2,1,2,3,2}

oznacza dokładnie ten sam zbiór.

4. Poprzez własności elementów. Bardzo wygodnym i uniwersalnym sposobem definiowania zbiorów (szczególnie zbiorów liczbowych) jest definicja postaci

A = {T(x ) : w(x )},

gdzie T(x) jest pewnym wyrażeniem (funkcją) zawierającym zmienną x , a w (x) jest warunkiem jaki zmienna x ma spełniać. Powyższą definicję czytamy: A jest zbiorem tych elementów postaci T (x) , które spełniają warunek w (x) . Dwukropek czytamy: takich, że.

Zbiór

{x ∈ R : x 2 − 4 = 0}

jest zbiorem (rzeczywistych) rozwiązań równania x 2 − 4 = 0 . (Czytamy: zbiór liczb rzeczywistych x takich, że x2 − 4 = 0 .)

Zbiór

{2n : n ∈ N }

oznacza zbiór liczb naturalnych parzystych.

Przedziały liczbowe możemy zdefiniować następująco:

(a,b) = {x ∈ R : a < x < b} ⟨a,b⟩ = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (a,+ ∞ ) = {x ∈ R : a < x} itp.

Powyższą notację możemy w naturalny sposób rozszerzyć na przypadek większej liczby zmiennych.

Zbiór

R 2 = { (x,y) : x,y ∈ R }

jest zbiorem par (uporządkowanych) liczb rzeczywistych. Poprzez wybór układu współrzędnych możemy ten zbiór utożsamiać z płaszczyzną.

Zbiór

{(x ,y) : y = 2x + 1 }

traktowany jako podzbiór płaszczyzny tworzy prostą. Zwykle ten zbiór definiujemy krótko mówiąc: prosta y = 2x + 1 .

Zbiór

n R = {(x 1,x2,...,xn) : x1,x 2,... ,xn ∈ R }

to zbiór wszystkich ciągów liczb rzeczywistych długości n . Jest to matematyczna definicja przestrzeni n wymiarowej.

Działania na zbiorach Zbiór C utworzony ze wszystkich elementów zbiorów A i B nazywamy sumą zbiorów A i B i oznaczamy

C = A ∪ B .

Zbiór D , który składa się z elementów należących jednocześnie do A i do B nazywamy częścią wspólną (lub przekrojem, lub też iloczynem) zbiorów A i B . Oznaczamy

D = A ∩ B.

Jeżeli A ∩ B = ∅ to mówimy, że zbiory A i B są rozłączne.

Zbiór E składający się z elementów zbioru A , które nie należą do B nazywamy różnicą zbiorów A i B . Oznaczamy

E = A ∖B .

Jeżeli A = {1,2 ,3 ,6,9} i B = {3,5,6,10 } to

A ∪ B = { 1,2,3,5,6,9,10 } A ∩ B = {3,6 } A ∖ B = { 1,2,9} B ∖ A = {5,1 0}.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli A = (− 5,1⟩ i B = ⟨− 3,3) to

A ∪ B = (− 5,3) A ∩ B = ⟨− 3,1⟩ A ∖ B = (− 5,3) B ∖ A = (1,3).

ZINFO-FIGURE

Jeżeli A ⊆ B to A ∖ B = ∅
Jeżeli A ∩ B = ∅ to A ∖B = A .

Bardzo wygodnym sposobem ilustracji zbiorów A ∩ B,A ∪ B ,A ∖ B,B ∖ A jest tzw. diagram Venna.

ZINFO-FIGURE

Diagram taki doskonale obrazuje wzajemne relacje między wymienionymi zbiorami i pozwala wymyślać różne przydatne wzorki, np.

A ∖B = A ∖ (A ∩ B ).

Kilka oczywistych wzorków.

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B )∪ C A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B)∩ C A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A A ∪ A = A A ∩ A = A A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅ A ∖ ∅ = A ∅ ∖ A = ∅ A ∖ A = ∅ .

Dopełnienie i prawa de Morgana W pewnych sytuacjach zdarza się, że zbiory, którymi się zajmujemy są podzbiorami ustalonego zbioru U (o zbiorze U myślimy jak o przestrzeni, która zawiera wszystkie badane przez nas elementy). W takim kontekście definiujemy dopełnienie zbioru A (w zbiorze U ) jako

A ′ = U ∖ A.

Przedziały liczbowe w naturalny sposób traktujemy jako podzbiory U = R . Mamy zatem

(− 3,1⟩′ = (− ∞ ,− 3⟩ ∪ (1,+ ∞ ) ′ (− ∞ ,2) = ⟨2,+ ∞ ).

ZINFO-FIGURE

Podzbiory płaszczyzny w naturalny sposób traktujemy jako podzbiory płaszczyzny U = R 2 :) Zatem np.

{(x,y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 9}′ = {(x,y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≥ 9}

ZINFO-FIGURE

Poniższy obrazek

ZINFO-FIGURE

przedstawia diagram Venna uzupełniony o przestrzeń U . Diagram ten jest bezcennym źródłem ciekawych wzorków, np.

A ∖B = A ∩ B ′

Dopełnienie odgrywa szczególną rolę, gdy zajmujemy się zdarzeniami losowymi. Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych to zbiór

A ′ = Ω ∖ A

odpowiada zdarzeniu przeciwnemu do A . W szczególności

P(A ′) = P(Ω ∖ A) = P(Ω )− P(A ) = 1 − P (A).

Kilka oczywistych wzorków.

A ∪ A ′ = U A ∩ A ′ = ∅ ′ ′ ∅ = U U = ∅ (A′)′ = A .

Używając diagramu Venna łatwo wykazać tzw. wzory (prawa) de Morgana.

′ ′ ′ (A ∪ B) = A ∩ B (A ∩ B)′ = A ′ ∪ B′.

Prawa de Morgana są ciekawe, bo pozwalają zamieniać (przy pomocy dopełnienia) sumę na iloczyn i odwrotnie.

Iloczyn kartezjański Dla dowolnych zbiorów X i Y definiujemy ich iloczyn kartezjański wzorem

X × Y = {(x ,y) : x ∈ X , y ∈ Y}.

Mówiąc bardziej po ludzku, iloczyn kartezjański X × Y jest zbiorem wszystkich par (uporządkowanych) postaci (x,y) , gdzie x jest elementem zbioru X , a y elementem zbioru Y .

Jeżeli X = {a,b} i Y = {1 ,2,3} to

X × Y = {(a ,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} Y × X = {(1 ,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}.

Zauważmy, że o elementach zbioru X × Y możemy myśleć jak o elementach tabelki.

ZINFO-FIGURE

Analogicznie definiujemy iloczyn kartezjański większej liczby zbiorów X 1,X2,...,Xn

X × X × ...× X = {(x ,x ,...,x ) : x ∈ X ,x ∈ X ,...,x ∈ X } . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n

W szczególności jeżeli X1 = X2 = ⋅⋅ ⋅Xn = X to oznaczamy

Xn = X × X × ⋅⋅ ⋅× X . ◟------◝ ◜------◞ n

Zbiór 2 R = R × R , czyli zbiór par liczb rzeczywistych utożsamiamy (poprzez wybór układu współrzędnych) z płaszczyzną.

Zbiór R 3 = R × R × R , czyli zbiór trójek liczb rzeczywistych utożsamiamy (poprzez wybór układu współrzędnych) z przestrzenią trójwymiarową.

O zbiorze n R myślimy (poprzez analogię z 2 R i 3 R ) jak o przestrzeni n wymiarowej.

Jeżeli przez A = {1,2,3,4,5 ,6 } oznaczymy zbiór możliwych wyników przy jednokrotnym rzucie kostką, to zbiór możliwych wyników przy n -krotnym rzucie kostką jest równy n A .

O zbiorze R × {1,2,3} myślimy jak o zbiorze trzech kopii R umieszczonych na poziomach 1, 2, 3.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli Z oznacza zbiór liczb całkowitych to zbiór Z × Z jest zbiorem punktów płaszczyzny, które mają obie współrzędne całkowite. Są to tzw. punkty kratowe.

Liczba elementów Jeżeli A jest zbiorem skończonym, to symbolem

|A |

oznaczamy liczbę elementów zbioru A .

Np.

|{1 ,1,2,3,3,3,4}| = 4 |{6n − 7 : n ∈ {1 ,2,...,100}} | = 1 00.

Patrząc na diagram Venna dla dwóch zbiorów skończonych A i B łatwo przekonać się o prawdziwości wzorów

|A ∪ B | = |A |+ |B |− |A ∩ B| |A ∖ B| = |A |− |A ∩ B |.

Jeżeli X i Y są zbiorami skończonymi to

|X × Y| = |Y × X | = |X|⋅ |Y |

Tak jest, bo zbiór X × Y składa się z par, których pierwszy element może być wybrany na |X | , a drugi na |Y | sposobów.
Inny sposób myślenia o tym wzorze: zbiór X × Y możemy utożsamiać z tabelką, która ma |X | wierszy i Y kolumn.

Powyżej wyświetlona jest tylko pierwsza część poradnika. Druga część jest dostępna tylko dla użytkowników z wykupionym abonamentem.
Zaloguj się Informacje o abonamencie
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 7,90 zł lub telefonicznie 9,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.