Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3011412

Wykazać, że jeśli dim V = d im W , to z tego, że odwzorowanie liniowe f : V → W jest różnowartościowe wynika, że f jest izomorfizmem.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Skorzystamy ze wzoru

d im ker f + dim im f = dim V .

Ponieważ f jest różnowartościowe to dim ke rf = 0 (bo k erf = { 0} ), zatem

d im im f = d im V = dim W ⇒ im f = W .

Czyli f jest „na”. Jest więc odwracalnym odwzorowaniem liniowym, czyli izomorfizmem. Jeżeli ktoś nie zauważył, to skorzystaliśmy z faktu, że jeżeli U ⊆ W podprzestrzeń liniowa i d im U = dim W to U = W .

Sposób II

Możemy też uzasadnić to bardziej bezpośrednio. Łatwo jest wykazać, że jeżeli odwzorowanie liniowe f : V → W jest różnowartościowe to przeprowadza układy liniowo niezależne w V na układy niezależne w W . Z tego wynika, że jeżeli dodatkowo dim V = dim W to f przeprowadza bazę na bazę. Zatem f jest na (bo obraz f jest podprzestrzenią liniową W oraz zawiera jej bazę, czyli musi być całym W ). Zatem f jest izomorfizmem.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!