Sposób I
Skorzystamy ze wzoru
Ponieważ jest różnowartościowe to
(bo
), zatem
Czyli jest „na”. Jest więc odwracalnym odwzorowaniem liniowym, czyli izomorfizmem. Jeżeli ktoś nie zauważył, to skorzystaliśmy z faktu, że jeżeli
podprzestrzeń liniowa i
to
.
Sposób II
Możemy też uzasadnić to bardziej bezpośrednio. Łatwo jest wykazać, że jeżeli odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe to przeprowadza układy liniowo niezależne w
na układy niezależne w
. Z tego wynika, że jeżeli dodatkowo
to
przeprowadza bazę na bazę. Zatem
jest na (bo obraz
jest podprzestrzenią liniową
oraz zawiera jej bazę, czyli musi być całym
). Zatem
jest izomorfizmem.