/Studia/Algebra liniowa/Odwzorowania liniowe

Zadanie nr 4591201

Które z następujących odwzorowań są liniowe:

  • f : R 3 → R 3 , f (x,y,z) = (x − y ,x + z,x− y+ z)
  • f : R 2 → R 2 , f (x,y) = (2x − 3y ,x+ 5y)
  • f : R 3 → R 4 , f (x,y,z) = (−x + 2y − z,0 ,y ,x− 3y+ 5z)
  • 4 4 f : R → R , f (x,y,z,w ) = (x + y − z,0,x + w ,x − z)
  • f : R 4 → R 4 , f (x,y,z,w ) = (x + y − z,1,x + w ,x − z)
  • f : R 4 → R 4 , f (x,y,z,w ) = (x− y− z+ 2w ,2x + 3y− z+ w,x + y + w ,x − z − 3w )
  • f : R 4 → R 4 , f (x,y,z,w ) = (x− y− z+ 2w ,2x + 3y− z+ w + 3,x + y + w + 2,x − z − 3w )
Wersja PDF

Rozwiązanie

W każdym z przykładów możemy z definicji sprawdzać, czy spełniony jest warunek

f(αv + βw ) = αf(v) + βf (w),

ale jest to dość niewygodne. Łatwiej jest skorzystać z następującej charakteryzacji: odwzorowanie

f : Rn → Rm , f (x1,x2,...,xn) = (f1,f2,...,fm )

jest liniowe, jeżeli każda jego współrzędna f i jest kombinacją liniową współrzędnych x 1,x2,...,xn , tzn. jest postaci

ai1x 1 + ai2x2 + ⋅⋅⋅+ ainxn .

Korzystając z tej charakteryzacji widać, że tylko odwzorowania z podpunktów e) i g) nie są liniowe.  
Odpowiedź: Wszystkie oprócz e) i g)

Wersja PDF