Załóżmy, że odwzorowanie liniowe {f}{V}{W} jest różnowartościowe.... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Odwzorowania liniowe, 6050294

Forum

Algebra liniowa

Zadanie nr 6050294

Załóżmy, że odwzorowanie liniowe $f : V → W$ jest różnowartościowe.

Wykazać, że $f$ przekształca układ wektorów liniowo niezależnych w $V$ na układ wektorów liniowo niezależnych w $W$ .
Wykazać, że jeśli $d im V = dim W$ to $f$ przekształca bazę w $V$ na bazę w $W$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy ze znanego faktu, że $f(0 ) = 0$ , czyli w przypadku odwzorowania różnowartościowego mamy $kerf = {0}$ .

Niech $v1,...,vn ∈ V$ będzie układem liniowo niezależnym i załóżmy, że $α1f(v 1)+ α 2f(v2)+ ⋅⋅⋅+ αnf (vn) = 0.$
Musimy pokazać, że $α1 = α2 = ⋅⋅⋅ = αn = 0$ . Ponieważ $f$ jest liniowe i ma trywialne jądro, mamy
$0 = α 1f(v1) + α2f(v 2)+ ⋅⋅⋅ + αnf (vn) = = f (α1v1 + α2v2 + ⋅⋅⋅+ αnvn) ⇒ α 1v1 + α2v2 + ⋅⋅⋅+ αnvn = 0.$
Pozostało skorzystać z tego, że układ $v1,...,vn$ jest liniowo niezależny, zatem $α 1 = α2 = ⋅⋅⋅ = αn = 0$ .
Baza to maksymalny układ liniowo niezależny. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że $f$ przekształca taki układ na układ liniowo niezleżny w $W$ , który ma tyle samo elementów. Jeżeli $d im V = dim W$ , to ten układ jest maksymalny w $W$ , jest więc bazą $W$ .

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!