Załóżmy, że odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe.
Wykazać, że przekształca układ wektorów liniowo niezależnych w na układ wektorów liniowo niezależnych w .
Wykazać, że jeśli to przekształca bazę w na bazę w .
Rozwiązanie
Skorzystamy ze znanego faktu, że , czyli w przypadku odwzorowania różnowartościowego mamy .
Niech będzie układem liniowo niezależnym i załóżmy, że
Musimy pokazać, że . Ponieważ jest liniowe i ma trywialne jądro, mamy
Pozostało skorzystać z tego, że układ jest liniowo niezależny, zatem .
Baza to maksymalny układ liniowo niezależny. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że przekształca taki układ na układ liniowo niezleżny w , który ma tyle samo elementów. Jeżeli , to ten układ jest maksymalny w , jest więc bazą .
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania? Napisz nam o tym!