/Studia/Algebra liniowa/Odwzorowania liniowe

Zadanie nr 6215593

Wykazać, że funkcja przyporządkowująca wielomianowi 2 ax + bx + c wektor (a,b,c) ∈ R 3 jest izomorfizmem przestrzeni R [x]2 wielomianów stopnia ≤ 2 i przestrzeni R 3 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdzamy czy podane odwzorowanie A jest liniowe, niech α ,β ∈ R i v = ax2 + bx + c , w = ex2 + fx + g . Wtedy

2 2 A (αv + βw ) = A (α(ax + bx+ c)+ β (ex + fx + g)) = = A ((αa + βe)x 2 + (αb + βf)x + (αc + βg )) = = (αa + βe ,αb+ βf,αc + βg ) = = α (a ,b,c)+ β (e,f,g) = αA (v )+ βA (w ).

Aby wykazać, że odwzorowanie jest odwracalne, wystarczy zauważyć, że ma trywialne jądro lub że jest „na”. Każda z tych rzeczy jest oczywista.

Wersja PDF