/Studia/Algebra liniowa/Odwzorowania liniowe

Zadanie nr 9558208

Wykazać, że relacja izomorfizmu jest relacją równoważności w zbiorze przestrzeni liniowych.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy pokazać, że relacja ta jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Zwrotność oznacza, że każda przestrzeń liniowa V jest izomorficzna sama ze sobą. To jest jasne – izomorfizm to odwzorowanie id: V → V , id(x) = x .

Symetryczność oznacza, że jeżeli przestrzeń V jest izomorficzna z W , to też W jest izomorficzne z V . Tak jest, bo jeżeli f : V → W jest izomorfizmem to f− 1: W → V też jest izomorfizmem.

Przechodniość oznacza, że jeśli V jest izomorficzna z W , a W jest izomorficzna z U , to V jest izomorficzna U . Własność ta wynika z faktu, że złożenie g ∘ f : V → U odwzorowań liniowych f : V → W i g: W → U też jest izomorfizmem liniowym.

Wersja PDF
spinner