Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9558208

Wykazać, że relacja izomorfizmu jest relacją równoważności w zbiorze przestrzeni liniowych.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Musimy pokazać, że relacja ta jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Zwrotność oznacza, że każda przestrzeń liniowa V jest izomorficzna sama ze sobą. To jest jasne – izomorfizm to odwzorowanie id: V → V , id(x) = x .

Symetryczność oznacza, że jeżeli przestrzeń V jest izomorficzna z W , to też W jest izomorficzne z V . Tak jest, bo jeżeli f : V → W jest izomorfizmem to f− 1: W → V też jest izomorfizmem.

Przechodniość oznacza, że jeśli V jest izomorficzna z W , a W jest izomorficzna z U , to V jest izomorficzna U . Własność ta wynika z faktu, że złożenie g ∘ f : V → U odwzorowań liniowych f : V → W i g: W → U też jest izomorfizmem liniowym.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!