Zadanie nr 6464862
Liczby w podanej kolejności, dla pewnej rzeczywistej wartości
, są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego. Wyznacz
oraz sumę czterdziestu początkowych wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie
Ze względu na dziedzinę logarytmów musimy mieć oczywiście . W ciągu arytmetycznym
spełniony jest warunek
, co w naszej sytuacji daje równanie.
![2log 4x = 1-+ lo g x3 + log √x-- 4 2 4 4 1 1 2(lo g44 + log4 x) = --+ 3 log4 x+ --log 4x 2 2 3-= 3log x / ⋅ 2- 2 2 4 3 log4x = 1 ⇐ ⇒ x = 4.](https://img.zadania.info/zad/6464862/HzadR3x.gif)
Zatem początkowe wyrazu danego ciągu to
![1- 3 1- 7- 2 + log4 x = 2 + 3 = 2 log 4x = 2 4 √ -- 1- log4 x = 2 .](https://img.zadania.info/zad/6464862/HzadR4x.gif)
Mamy więc do czynienia z ciągiem, w którym i
. Zatem
![7- 3- 1-10 a40 = a1 + 39r = 2 − 39⋅ 2 = − 2 = − 55.](https://img.zadania.info/zad/6464862/HzadR7x.gif)
Stąd
![( ) S40 = a1-+-a40 ⋅40 = 7-− 55 ⋅20 = 7 0− 1100 = − 103 0. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6464862/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: