Zadanie nr 9428763

Dane są liczby dodatnie i , dla których ciąg ( a+b- ) log a,lo g 3 ,lo gb jest rosnącym ciągiem arytmetycznym. Oblicz różnicę tego ciągu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Informacja o ciągu arytmetycznym prowadzi do równości

a + b 2 log ------= lo ga + log b ( 3 ) a+--b- 2 log 3 = log(ab) a2-+-2ab-+-b2- 9 = ab / ⋅9 2 2 a − 7ab + b = 0.

Zanim dalej przekształcimy to wyrażenie, zastanówmy się co mamy obliczyć. Interesuje nas różnica między kolejnymi wyrazami ciągu:

r = lo g a-+-b-− log a = log b− lo g a+--b, 3 3

więc tak naprawdę wystarczy obliczyć

( a+ b ) ( a+ b) b 2r = log -----− lo ga + lo gb − log ------ = log b− log a = log --. 3 3 a

Widać więc, że tak naprawdę potrzebujemy b a . Wracamy teraz do otrzymanego wcześniej związku między i .

2 2 2 a − 7ab + b( =) 0 / : a b b 2 1 − 7 ⋅--+ -- = 0. a a

Podstawiamy teraz b t = a i mamy

2 t − 7t+ 1 = 0 Δ = 49 − 4 = 45 √ -- √ -- t = 7−--3--5-≈ 0 ,1 5 lub t = 7+--3--5-≈ 6,85. 2 2

Ponieważ ciąg arytmetyczny ma być rosnący, więc b 2r = lo g a = lo gt > 0 , czyli t > 1 . Zatem √ - t = 7+-3-5 2 i

√ -- √ -- 7 + 3 5 1 7 + 3 5 2r = log t = lo g--------- ⇒ r = --log ---------. 2 2 2

Odpowiedź: 1 7+3√5- r = 2 log 2 .