Zadanie nr 5455135

Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru , dla których równanie

3 2 [ 2 2 ] (x + 2x + 2x + 1 ) x − (2m + 1)x + m + m = 0

ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.

Rozwiązanie

Zauważmy, że bardzo łatwo jest znaleźć pierwiastki wielomianu w pierwszym nawiasie.

3 2 3 x + 2x + 2x + 1 = x + 1+ 2x(x + 1) = = (x + 1)(x 2 − x + 1 )+ 2x (x+ 1) = (x + 1)(x2 + x + 1).

Trójmian w nawiasie nie ma pierwiastków, bo Δ < 0 , więc jedynym pierwiastkiem tego wielomianu jest x0 = − 1 .

Zajmijmy się teraz trójmianem w drugim nawiasie.

(2m + 1)2 − 4(m 2 + m) = 4m 2 + 4m + 1 − 4m 2 − 4m = 1.

To oznacza, że ten trójmian ma zawsze dwa pierwiastki, które są równe

x = 2m-+--1−--1 = m , x = 2m-+--1+--1 = m + 1. 1 2 2 2

Mamy teraz trzy możliwości.

2x0 = x 1 + x 2 ∨ 2x1 = x 0 + x 2 ∨ 2x 2 = x0 + x1 − 2 = m + m + 1 ∨ 2m = − 1 + m + 1 ∨ 2m + 2 = − 1 + m m = − 3- ∨ m = 0 ∨ m = − 3. 2

Pierwsza z tych nie jest liczbą całkowitą, więc m = 0 lub m = − 3 .
Odpowiedź: m ∈ {− 3,0}