Zadanie nr 9801521

Dla jakich wartości parametru równanie 3 2 2 (x + 3x − 4)[(m − 5 )x + (m − 2)x − 1 ] = 0 ma cztery różne pierwiastki?

Rozwiązanie

Na początku znajdźmy pierwiastki równania

3 2 x + 3x − 4 = 0

Suma współczynników jest równa 0, więc pierwiastkiem jest x = 1 . Dzielimy wielomian przez x− 1 . My zrobimy to grupując wyrazy

3 2 3 2 2 x + 3x − 4 = (x − x )+ (4x − 4) = = x 2(x− 1)+ 4(x− 1)(x + 1) = (x − 1)(x 2 + 4x + 4) = (x − 1)(x + 2)2.

Wielomian ten ma zatem dwa różne pierwiatki x = 1 i x = − 2 .

Pozostało zbadać kiedy równanie

(m − 5)x2 + (m − 2 )x− 1

ma dwa pierwiastki, które są różne od 1 i -2. Oczywiście musi być kwadratowe, czyli m ⁄= 5 . Ponadto

0 < Δ = (m − 2 )2 + 4(m − 5) = m 2 − 4m + 4+ 4m − 2 0 = = m 2 − 1 6 = (m − 4)(m + 4) m ∈ (− ∞ ,− 4) ∪ (4,+ ∞ ).

Pozostało sprawdzić kiedy jednym z pierwiastków jest 1 lub -2

0 = m − 5 + m − 2− 1 ⇒ m = 4 17 0 = 4(m − 5 )− 2(m − 2) − 1 ⇒ m = --. 2

Odpowiedź: 17 17 m ∈ (− ∞ ,− 4)∪ (4,5) ∪ (5,-2 ) ∪ (2-,+ ∞ )