/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 5/Z parametrem

Zadanie nr 3614562

Dla jakich wartości parametru m równanie 5 3 2 4x + 4(1 − m )x + (m − 4)x = 0 ma dokładnie trzy różne rozwiązania?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zapisując równanie w postaci

4 2 2 x(4x + 4(1 − m )x + (m − 4)) = 0

widzimy, że równanie ma zawsze pierwiastek x = 0 . Jeżeli podstawimy t = x 2 to pozostaje do zbadania równanie

4t2 + 4(1− m )t+ (m 2 − 4) = 0.

Aby wyjściowe równanie miało dokładnie trzy pierwiastki, powyższe równanie kwadratowe musi mieć dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Sprawdźmy najpierw kiedy to równanie kwadratowe ma w ogóle pierwiastki

0 ≤ Δ = 16(1− m )2 − 16 (m2 − 4) = = 16(1 − 2m + m 2 − m 2 + 4) = 16 (5− 2m ) 5 2m ≤ 5 ⇒ m ≤ --. 2

Żeby uniknąć kłopotów z zerowym pierwiastkiem, od razu osobno zobaczmy kiedy t = 0 jest pierwiastkiem równania kwadratowego. Tak będzie dla m = − 2 lub m = 2 . Mamy wtedy odpowiednio równania

2 0 = 4t + 1 2t = 4t(t+ 3) 2 0 = 4t − 4t = 4t(t− 1).

Pierwsze równanie nie ma dodatniego pierwiastka, ale za to drugie ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni, więc musimy pamiętać o tym, że m = 2 spełnia warunki zadania.

Zauważmy jeszcze, że w sytuacji gdy równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli dla m = 5 2 , współczynnik przy t jest ujemny, czyli jedyny pierwiastek jest dodatni. Zatem 5 m = 2 też spełnia warunki zadania.

Pozostała nam sytuacja gdy są dwa niezerowe pierwiastki. Aby dokładnie jeden z nich był dodatni, muszą być one różnych znaków, czyli na mocy wzorów Viète’a,

2 0 > t1t2 = m − 4 ⇐ ⇒ m ∈ (− 2,2)

W połączeniu z warunkiem na Δ -ę i wyżej rozpatrzonymi przypadkami, daje nam to

{ } m ∈ (− 2 ,2 ⟩∪ 5- . 2

 
Odpowiedź: { } m ∈ (− 2,2⟩ ∪ 5 2

Wersja PDF