/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Czterowyrazowy

Zadanie nr 7355736

Pierwiastkami wielomianu czwartego stopnia W (x ) są liczby a ,b,c,d , które w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Suma pierwiastków równa jest 8.

  • Oblicz pierwiastki a,b,c i d .
  • Wiedząc że W (0) = −1 5 , przedstaw wielomian w postaci 4 3 2 W (x) = a4x + a3x + a2x + a1x+ a0 .
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Wiemy, że
    ( || b = a+ 2 |{ c = b+ 2 = a + 4 ||| d = c+ 2 = a + 6 ( 8 = a+ b+ c+ d = a+ (a+ 2)+ (a+ 4 )+ (a + 6) = 4a+ 12.

    Zatem a = − 1 , b = 1 , c = 3 i d = 5 .  
    Odpowiedź: (a,b,c,d) = (− 1,1 ,3 ,5)

  • Z poprzedniego podpunktu wiemy, że
    W (x) = m (x + 1)(x − 1 )(x− 3)(x− 5),

    dla pewnej stałej m . Wartość m możemy wyznaczyć z podanego warunku W (0) = − 15 .

    − 15 = W (0) = m ⋅(− 15) ⇒ m = 1.

    Pozostało wymnożyć nawiasy z prawej strony równości

    2 2 (x + 1)(x − 1)(x − 3 )(x− 5) = (x − 1)(x − 8x + 15 ) = = x 4 − 8x 3 + 1 5x2 − x2 + 8x − 15 = 4 3 2 = x − 8x + 1 4x + 8x − 15.

     
    Odpowiedź: 4 3 2 x − 8x + 14x + 8x − 15

Wersja PDF