Zadanie nr 3259721

Oblicz granicę ciągu

n lim ---------------------5----------------------. n→ + ∞ 5n + 5n−1 ⋅3+ 5n−2 ⋅32 + ⋅⋅⋅+ 5⋅3n− 1 + 3n

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że granica

n n−1 n− 2 2 n−1 n lim 5--+-5----⋅3-+-5----⋅3--+-⋅⋅⋅+--5⋅3----+--3--= n→ + ∞ 5n ( 5n 5n−1 ⋅3 5n −2 ⋅ 32 5⋅3n− 1 3n ) = lim --n + ----n---+ -----n---+ ⋅⋅⋅+ ---n----+ -n- = n→ + ∞( 5 5 5 5 ) 5 3 ( 3) 2 ( 3)n − 1 ( 3 )n = lim 1 + --+ -- + ⋅ ⋅⋅+ -- + -- , n→ + ∞ 5 5 5 5

jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1 = 1 i ilorazie 3 q = 5 . Suma ta jest więc równa

S = --a1--= --1---= 1-= 5. 1 − q 1− 3 2 2 5 5

Interesująca nas granica to odwrotność tej liczby

n lim ---------------------5-----------------------= n→+ ∞ 5n + 5n−1 ⋅3 + 5n− 2 ⋅32 + ⋅⋅⋅+ 5⋅3n −1 + 3n 1 nli→m+ ∞ 5n+5n−1⋅3+-5n−2⋅32+-⋅⋅⋅+-5⋅3n−1+3n-= 5n 1 1 2 -------5n+-5n−1⋅3+5n−2⋅32+⋅⋅⋅+5⋅3n−-1+-3n = S-= 5-. n→lim+ ∞ 5n

Odpowiedź: 2 5