/Studia/Algebra liniowa/Przestrzenie liniowe

Zadanie nr 1889166

Wykazać, że na to aby wektor x był kombinacją liniową wektorów x1,x 2,...,xn potrzeba i wystarcza aby

lin{x1,x 2,...,xn } = lin {x1,x2,...,xn ,x}.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Aby eleganco zapisać rozwiązanie, skorzystamy z implikacji

X ⊆ linA ⇒ lin X ⊆ lin A .

Wynika ona z tego, że lin A jest podprzestrzenią liniową.

Jeżeli x = α1x 1 + ⋅⋅⋅ αnxn to x ∈ lin{x 1,x2,...,xn} . Zatem

x1,x2,...,xn,x ∈ lin{x 1,x2,...,xn} ⇒ ⇒ lin{x 1,x2,...,xn,x} ⊆ lin {x1,x2,...,xn} ⇒ ⇒ lin{x 1,x2,...,xn,x} = lin {x1,x2,...,xn}

Na odwrót, jeżeli

lin{x 1,x2,...,xn,x} = lin{x 1,x2,...,xn}

to x ∈ lin{x 1,x2,...,xn} , czyli z definicji lin , jest kombinacją liniową wektorów x1,x2,...,xn .

Wersja PDF