Zadanie nr 1126778
Oblicz całkę .
Rozwiązanie
Mianownik ma trzy czynniki liniowe, każdy w pierwszej potędze, więc funkcja podcałkowa jest sumą trzech ułamków prostych pierwszego rodzaju:
![-------7x-2 +-1------- --a--- --b--- --c--- (x + 1)(x − 1)(x − 3 ) = x + 1 + x− 1 + x − 3 .](https://img.zadania.info/zad/1126778/HzadR0x.gif)
Mnożąc obie strony przez otrzymujemy
![7x2 + 1 = a(x − 1)(x − 3) + b(x + 1 )(x− 3)+ c(x + 1)(x− 1) = 2 = (a + b+ c)x − (4a+ 2b)x + (3a − 3b − c).](https://img.zadania.info/zad/1126778/HzadR2x.gif)
Porównując współczynniki po obu stronach dostajemy układ równań
![( | a+ b+ c = 7 { | 4a+ 2b = 0 ( 3a− 3b − c = 1,](https://img.zadania.info/zad/1126778/HzadR3x.gif)
Dodając pierwsze i trzecie równanie stronami mamy . Dodając do tego równania drugie równanie mamy
, czyli
. Stąd (z drugiego równania)
i (z pierwszego równania)
. Stąd
![∫ 7x2 + 1 ∫ ( 1 2 8 ) ----------------------dx = ------− ------+ ------ dx = (x + 1)(x − 1)(x − 3) x+ 1 x − 1 x− 3 = ln|x + 1|− 2ln |x − 1 |+ 8 ln |x− 3|+ C .](https://img.zadania.info/zad/1126778/HzadR9x.gif)
Odpowiedź: