Zadanie nr 1153899

Oblicz całkę ∫ -dx- 1+x3 .

Rozwiązanie

Ponieważ

3 2 1 + x = (1+ x)(1− x+ x ),

funkcję pod ostatnią całką rozkładamy na ułamki proste postaci

1 a bx+ c --------------------= ------+ ----------- (x + 1)(x 2 − x + 1 ) x + 1 x2 − x+ 1

Mnożąc obie strony przez x3 + 1 mamy

2 1 = a(x − x + 1) + (bx + c)(x + 1) = = (a + b)x2 + (−a + b+ c)x+ a+ c.

Porównując współczynniki przy kolejnych potęgach mamy

( |{ a + b = 0 −a + b + c = 0 |( a + c = 1 .

Odejmując od drugiego równania pierwsze i trzecie otrzymamy 1 a = 3 . Zatem b = − 13,c = 23 , oraz

∫ dx 1∫ dx 1∫ x − 2 ---------2----------= -- ------− -- -2--------dx = (x+ 1)(x − x+∫ 1) 3 x + 1 3∫ x + x + 1 1- 1- --2x-−-1--- 1- ---dx------ = 3 ln |x+ 1|− 6 x2 − x + 1 dx + 2 x2 − x+ 1 = 1 1 1 = --ln |x+ 1|− -A + -B . 3 6 2

Pierwszą całkę liczymy podstawiając za mianownik, a drugą korzystając ze wzoru

∫ -----dx----- -1-- x-+-a- (x + a)2 + b = √ --arctg √ -- + C, dla k > 0. b b

Liczymy

| | ∫ 2x − 1 | t = x2 − x+ 1 | ∫ dt A = --2--------dx = ||dt = (2x − 1)dx || = ---= ln |t|+ C = x − x + 1 t = ln |x2 − x+ 1|+ C . ∫ ∫ B = ----dx-----= -----dx------= √2--arctg 2x√−-1-+ C. x 2 − x + 1 (x− 12)2 + 34 3 3

Mamy zatem

∫ dx -----3-= 1+ x = 1-ln |x+ 1|− 1ln |x2 − x+ 1|+ √1--arctg 2x√-−-1-+ C . 3 6 3 3

Odpowiedź: 1 ln |x+ 1|− 1ln |x 2 − x + 1| + √1-arctg 2x√−1-+ C 3 6 3 3