Zadanie nr 1530868
Oblicz całkę .
Rozwiązanie
Sposób I
Korzystamy ze wzoru
![∫ dx ∘ ------- √--------= ln |x+ x2 + k|+ C, x2 + k](https://img.zadania.info/zad/1530868/HzadR0x.gif)
który łatwo jest wyprowadzić stosując podstawienie Eulera .
Liczymy
![∫ ∫ ∫ ----dx----- ---dx---- ------dx-------- ∘ ---------= √ --2---- = ∘ (------)2-----= x(x + 1) x + x x+ 1 − 1 2 4 ∘ ------- ||t = x + 1|| ∫ dt 1 = || 2|| = ∘--------= ln |t+ t2 −--| = dx = dt t2 − 1 4 | ------| 4 || 1- ∘ 2 || = ln |x + 2 + x + x|.](https://img.zadania.info/zad/1530868/HzadR2x.gif)
Sposób II
Ponieważ , możemy podstawić
. Mamy wtedy
![x+ 1 = t2x x = ---1-- t2 − 1 − 2t dx = --2-----2dt (t − 1) --t2-- x+ 1 = t2 − 1.](https://img.zadania.info/zad/1530868/HzadR5x.gif)
Stąd
![∘ ------ ∫ dx ∫ 1 x+ 1 ∫ t2 − 1 − 2t ∘----------= ------ -----dx = ---2-- ⋅t⋅ -2-----2-dt = x(x + 1 ) x+ 1 x t ( (t − 1) ) ∫ 2 ∫ 2 ∫ 1 1 = − t2 −-1-dt = − (t−--1)(t+-1)-= − t−-1-− t+-1- dt = | | √ ------ √ -- ||t+-1-|| --x-+-1+----x- = ln|t+ 1|− ln |t − 1|+ C = ln |t− 1 |+ C = ln √x--+-1− √x--+ C = √ ------ √ -- (--x-+--1+----x)2 √ ------ √ -- = ln x + 1 − x + C = 2ln( x + 1 + x) + C .](https://img.zadania.info/zad/1530868/HzadR6x.gif)
Odpowiedź:
Oblicz całkę .
Sposób I
Korzystamy ze wzoru
który łatwo jest wyprowadzić stosując podstawienie Eulera .
Liczymy
Sposób II
Ponieważ , możemy podstawić
. Mamy wtedy
Stąd
Odpowiedź: