Zadanie nr 2458550
Oblicz całkę .
Rozwiązanie
Pozbywamy się tak, aby móc podstawić
.
![∫ dx ∫ sin2xdx || t = cos 2x || -------------= -----------------2----= || || = cos 4x sin 2x (2 cos2 2x− 1)sin 2x dt = − 2sin 2xdx ∫ − 1dt 1 ∫ dt = --------2--------= -- ---------------. (2t2 − 1)(1− t2) 4 (t2 − 12)(t2 − 1)](https://img.zadania.info/zad/2458550/HzadR2x.gif)
Otrzymaliśmy całkę z funkcji wymiernej, którą rozkładamy na ułamki proste.
![∫ ( ∫ ∫ ) 1- -------dt-------= 1- -dt---− --dt-- = 4 (t2 − 1)(t2 − 1 ) 2 t2 − 1 t2 − 1 ( 2 ( 2 ) ) 1 1 (∫ dt ∫ dt ) √ 2- ∫ dt ∫ dt = -( -- -----− ----- − ----( ----1--− -----1-) ) = 2 2 t− 1 t+ 1 2 t− √2- t+ √2- √ --( | | | |) 1- --2- || -1-|| || -1-|| = 4(ln|t− 1|− ln |t+ 1|)− 4 ln |t− √ 2|− ln |t+ √ 2| + C = | | √ -- || || 1 |t− 1| 2 |t− √12-| = -ln ||-----||− ----ln ||-----1-||+ C . 4 t+ 1 4 |t+ √2 |](https://img.zadania.info/zad/2458550/HzadR3x.gif)
Mamy więc
![∫ | | √ -- || 1√-|| -----dx------ 1- ||co-s2x-−-1 || --2- ||cos2x-−---2|| co s4x sin 2x = 4 ln|co s2x + 1 |− 4 ln |cos2x + 1√-| + C . | 2|](https://img.zadania.info/zad/2458550/HzadR4x.gif)
Odpowiedź:
Oblicz całkę .
Pozbywamy się tak, aby móc podstawić
.
Otrzymaliśmy całkę z funkcji wymiernej, którą rozkładamy na ułamki proste.
Mamy więc
Odpowiedź: