Zadanie nr 2468191
Oblicz całkę .
Rozwiązanie
Zmniejszamy najpierw stopień licznika.
![∫ 3 ∫ ( 3 2 2 ) -x-+--1dx = x-−--x-+ -x-+--1- dx = x3 − x2 x3 − x2 x3 − x2 ∫ x 2 + 1 = x + -3----2dx . x − x](https://img.zadania.info/zad/2468191/HzadR0x.gif)
Ostatnią całkę liczymy szukając rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste postaci:
![2 2 -x-+--1-= --x-+--1--= a-+ b-+ --c--. x3 − x2 x2(x − 1) x x2 x − 1](https://img.zadania.info/zad/2468191/HzadR1x.gif)
Mnożąc obie strony przez otrzymujemy.
![x2 + 1 = ax (x− 1)+ b(x − 1)+ cx2 = (a + c)x2 + (b − a)x − b.](https://img.zadania.info/zad/2468191/HzadR3x.gif)
Stąd oraz
oraz
![∫ x2 + 1 ∫ dx ∫ dx ∫ dx --------dx = − --- − ---+ 2 ------= x 3 − x 2 x x2 x − 1 1- = − ln |x|+ x + 2 ln |x− 1|+ C .](https://img.zadania.info/zad/2468191/HzadR6x.gif)
Zatem
![∫ x-3 +-1- 1- x3 − x2dx = x − ln|x|+ x + 2 ln|x − 1|+ C.](https://img.zadania.info/zad/2468191/HzadR7x.gif)
Odpowiedź: