Zadanie nr 3769349

Oblicz całkę ∫ --x2+-1--- (x2+ 2x+ 3)2dx .

Rozwiązanie

W mianowniku mamy nierozkładalną funkcję kwadratową w drugiej potędze, więc szukamy rozkładu na dwa ułamki proste drugiego rodzaju.

2 ----x--+-1-----= ---ax-+-b---+ ----cx-+-d----. (x 2 + 2x + 3 )2 x2 + 2x + 3 (x2 + 2x + 3)2

Mnożąc obie strony przez (x2 + 2x+ 3)2 otrzymujemy

x2 + 1 = (ax + b )(x2 + 2x+ 3)+ cx+ d = 3 2 = ax + (2a + b )x + (3a+ 2b+ c)x+ 3b+ d

Porównując współczynniki przy kolejnych potęgach otrzymujemy układ

( || a = 0 |{ 2a + b = 1 ||| 3a + 2b + c = 0 ( 3b + d = 1.

Z układu tego otrzymujemy a = 0,b = 1,c = − 2,d = − 2 oraz

∫ x2 + 1 ∫ dx ∫ 2x + 2 --2----------2dx = -2----------− --2----------2dx = A − B. (x + 2x + 3) x + 2x + 3 (x + 2x + 3)

Aby obliczyć pierwszą powyższych całek skorzystamy ze wzoru

∫ dx 1 x + a -------2---- = √---arctg -√----+ C, dla k > 0. (x + a) + b b b

Liczymy

∫ dx ∫ dx 1 x + 1 A = ------------= -------------= √---arctg--√---+ C x2 + 2x + 3 (x +| 1 )2 + 2 2 | 2 ∫ 2x + 2 | t = x2 + 2x+ 3| ∫ dt 1 B = --2----------2dx = || || = -2-= − --+ C = (x + 2x + 3) dt = (2x + 2)dx t t -----1------ = − x 2 + 2x + 3 + C.

Mamy zatem

∫ x 2 + 1 1 x + 1 1 ---------------dx = A − B = √---arctg -√----+ ------------+ C . (x 2 + 2x + 3 )2 2 2 x2 + 2x + 3

Odpowiedź: √1- x√+1- ----1--- 2 a rctg 2 + x2+ 2x+ 3 + C