Zadanie nr 4918162

Oblicz całkę ∫ ----dx----- (x+ 1)√x-2+1 .

Rozwiązanie

Podstawiamy x = sinh t . Mamy wtedy 2 2 x + 1 = co sh t oraz

∫ dx || x = sinh t || ∫ co shtdt -------√--------= || || = -----------∘---------= (x + 1) x2 + 1 dx = co shtdt (sinh t+ 1) cosh2 t ∫ dt = ---------. sin ht + 1

Aby obliczyć tę ostatnią całkę stosujemy podstawienie u = tgh t 2 . Mamy wtedy -2u--- sin ht = 1−u 2 , oraz

∫ || t || ∫ --2-du ∫ ----dt----= | u = tg2h 2 | = -1−u2----= ---2du------= sinh t+ 1 |dt = 1−u-2du| 1 + 12−uu2- 1− u 2 + 2u ∫ ∫ = − 2 -----du----- = − 2 ---------√--du---------√--- = u 2 − 2u − 1 (u − 1 − 2 )(u − 1+ 2) ∫ ( ) || √ -|| = √1-- -----1--√--− -----1--√--- du = √1-ln ||u-−-1-+-√-2|| + C = 2 u− 1+ 2 u − 1 − 2 2 |u − 1 − 2| | √ --| -1-- || tgh-t2-−-1-+---2-|| = √ --ln|| t √ -||+ C 2 2tgh 2 − 1− 2

Teraz skorzystamy z równości tgh x = e2x−-1 e2x+ 1 . Mamy więc

|| t √ -|| ||et−1 √ -|| √1--ln |tgh-2-−-1-+-√-2| + C = √1--ln |et+1-−-1-+-√-2| + C = 2 ||tgh t − 1 − 2|| 2 ||et−1 − 1 − 2|| | 2 √ --| | et+1 √ - | | −-2-+ 2 | ||√ -- −--2+ 1|| = √1--ln||-et+1---√---||+ C = √1--ln|√-2-⋅ et+√-1----|+ C = 2 | −et+21-− 2 | 2 || 2 −t-2− 1|| | √ -- | e+ 1 1 ||− 2 + et + 1|| = √---ln||--√------t----||+ C 2 − 2 − e − 1

Pozostało teraz podstawić ------- t = arsinh x = ln(x + √ x2 + 1) .

| -- | | -- √ ------- | 1 |− √ 2+ et + 1 | 1 |− √ 2 + x + x 2 + 1 + 1 | √--ln ||--√-----------||+ C = √---ln||--√---------√------------||+ C . 2 |− 2− et − 1 | 2 |− 2 − x + x 2 + 1 − 1 |

Odpowiedź: 1 ||−√ 2+x+√x-2+1+1|| √-2 ln |−√-2−x+√x-2+1−1| + C