Zadanie nr 6893015

Oblicz całkę ∫ x3+x-+1- x3−1 dx .

Rozwiązanie

Najpierw zmniejszamy stopień licznika.

∫ 3 ∫ 3 ∫ ( ) x--+-x-+-1-dx = (x--−-1)-+-x-+-2dx = 1 + -x-+-2- dx = x3 − 1 x3 − 1 x 3 − 1 ∫ x+ 2 ∫ x + 2 = x + -3----dx = x + ---------2---------dx . x − 1 (x − 1)(x + x + 1)

Funkcję pod ostatnią całką rozkładamy na ułamki proste

-------x-+-2--------= --a---+ --bx+--c--- (x − 1)(x 2 + x + 1 ) x − 1 x2 + x+ 1

Mnożąc obie strony przez x3 − 1 mamy

x + 2 = a(x 2 + x + 1 )+ (bx + c)(x − 1 ) = 2 = (a + b)x + (a − b + c)x + a − c.

Porównując współczynniki przy kolejnych potęgach mamy

( |{ a + b = 0 a − b + c = 1 |( a − c = 2 .

Dodając wszystkie trzy równania stronami mamy a = 1 , skąd b = − 1 i c = − 1 . Mamy zatem

∫ x+ 2 ∫ dx ∫ x + 1 ---------2----------= ------− -2--------dx = (x− 1)(x + x+ 1) x − 1 x∫ + x + 1 ∫ 1- --2x-+-1--- 1- ----dx----- = ln |x − 1 |− 2 x2 + x + 1dx − 2 x2 + x + 1 = 1 1 = ln |x − 1 |− --A − -B. 2 2

Pierwszą całkę liczymy podstawiając za mianownik, a drugą korzystając ze wzoru

∫ -----dx----- √1-- x√+-a- (x + a)2 + b = b arctg b + C, dla k > 0.

Liczymy

∫ | | ∫ --2x-+-1--- || t = x2 + x+ 1 || dt- A = x 2 + x + 1 dx = |dt = (2x + 1)dx | = t = ln |t|+ C = = ln |x2 + x+ 1|+ C . ∫ dx ∫ dx 2 2x + 1 B = --2--------= -----1-----3-= √---arctg --√----+ C. x + x + 1 (x+ 2)2 + 4 3 3

Mamy zatem

∫ x3 + x+ 1 1 1 2x+ 1 ----------dx = x+ ln |x− 1|− -ln |x 2 + x + 1 |− √--arctg -√-----+ C . x3 − 1 2 3 3

Odpowiedź: 1 2 1√-- 2x√+1- x + ln|x − 1|− 2 ln |x + x+ 1|− 3 arctg 3 + C