Zadanie nr 7369236

Oblicz całkę ∫ -dx--- 1+tgx .

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeżeli podstawimy t = tg x to

1 x = arctgt ⇒ dx = -----2. 1 + t

Zatem

∫ dx || t = tgx || ∫ 1 1 --------= || -1--|| = ----- ⋅-----2dt 1+ tg x dx = 1+t2 1 + t 1 + t

Otrzymaną całkę liczymy szukając rozkładu na ułamki proste.

-------1------- = --A-- + Bt-+-C-. (1 + t)(1 + t2) 1 + t 1+ t2

Mnożymy obie strony przez (1 + t)(1+ t2) .

1 = A (1 + t2)+ (Bt+ C)(1 + t) = t2(A + B )+ t(B + C) + (A + C).

Mamy stąd układ równań

( |{ A + B = 0 B + C = 0 |( A + C = 1.

Dodając dwa pierwsze równania stronami i odejmując trzecie otrzymujemy B = − 12 . Stąd A = C = 12 oraz

∫ ∫ ∫ ∫ -------1-------dt = 1- -dt--− 1- --2t--dt+ 1- -dt---= (1 + t)(1+ t2) 2 1+ t 4 1 + t2 2 1+ t2 1 1 1 = --ln|1 + t|− -ln(1 + t2) + --arctgt + C = 2 4 2 = 1-ln|1 + tg x|− 1ln(1 + tg2 x)+ 1-arctg tgx + C = 2 4 2 1- 1- 2 x- = 2 ln|1 + tg x|− 4 ln(1 + tg x)+ 2 + C = | | ∘ --------------- 1 | sin x + cos x| 1 sin 2x + cos2x x = --ln|| ------------||− --ln -------2------+ --+ C = 2 | cos x | 2 cos x 2 1- || sin-x-+-cos-x|| 1- ---1--- x- = 2 ln| cos x |− 2 ln |co sx| + 2 + C = = 1-ln|sin x+ cosx| + x-+ C . 2 2

Odpowiedź: 1 1 2 x 1 x 2 ln|1 + tg x|− 4 ln(1 + tg x )+ 2 + C = 2 ln|sinx + co sx| + 2 + C