Zadanie nr 9185055
Oblicz całkę .
Rozwiązanie
Najpierw musimy rozłożyć mianownik na czynniki liniowe lub kwadratowe. W tym celu musimy odgadnąć jeden jego pierwiastek. Łatwo sprawdzić podstawiając, że jest pierwiastkiem mianownika, zatem wielomian ten dzieli się przez . My jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy.
Zatem
i funkcja wymierna jest więc sumą trzech ułamków prostych pierwszego rodzaju:
Mnożąc obie strony przez otrzymujemy
Porównując współczynniki przy kolejnych potęgach otrzymujemy układ równań.
Zostawiając pierwsze równanie i odejmując od drugiego równania trzecie (żeby zredukować ) otrzymujemy
Odejmujemy teraz od drugiego równania pierwsze i mammy , czyli . Stąd i .
Mamy zatem
Odpowiedź: