Zadanie nr 9448353
Oblicz całkę .
Rozwiązanie
Sposób I
Podstawiamy , gdzie . Zauważmy, że ponieważ funkcja pod znakiem całki jest parzysta, możemy policzyć całkę przy założeniu, że (czyli ), a na koniec zrobimy z wyniku funkcję nieparzystą. Mamy zatem
Zatem
Można sprawdzić, że funkcja, którą otrzymaliśmy jest nieparzysta, więc wynik jest poprawny bez założenia .
Sposób II
Podstawiamy . Tak naprawdę to powinniśmy odrobinę uważać, bo może być ujemny, a . Mamy jednak do czynienia z funkcją parzystą, więc wystarczy, że policzymy całkę dla , a na koniec zrobimy z wyniku funkcję parzystą.
Druga uwaga, to nie jest różnowartościowy, ale możemy założyć, że . Dzięki temu będziemy wiedzieć, że .
Teraz podstawiamy .
Po drodze opuściliśmy wartości bezwzględne, bo . Można sprawdzić, że funkcja, którą otrzymaliśmy jest nieparzysta, więc wynik jest poprawny bez założenia .
Odpowiedź: