Zadanie nr 9455758
Oblicz całkę .
Rozwiązanie
Rozbijamy wyrażenie w liczniku na dwie części tak, aby otrzymać pochodną trójmianu, który znajduje się pod pierwiastkiem.
![∫ ∫ ∫ √---3x-+-1----dx = 3- √---2x-+-6----dx − √-----8-------. x 2 + 6x + 6 2 x 2 + 6x + 6 x2 + 6x + 6](https://img.zadania.info/zad/9455758/HzadR0x.gif)
Pierwszą całkę liczymy podstawiając za trójmian pod pierwiastkiem
![| | 3∫ 2x + 6 |t = x2 + 6x + 6 | 3 ∫ dt √ - -- √--2----------dx = ||dt = (2x + 6)dx || = -- √-- = 3 t+ C = 2 ∘ x--+-6x-+-6- 2 t = 3 x2 + 6x + 6 + C .](https://img.zadania.info/zad/9455758/HzadR1x.gif)
Drugą całkę policzymy korzystając ze wzoru
![∫ ∘ ------- √--dx----= ln |x+ x2 + k|+ C. x2 + k](https://img.zadania.info/zad/9455758/HzadR2x.gif)
Liczymy
![∫ dx ∫ dx ||x + 3 = t|| − 8 √-------------= − 8 ∘--------------= || || = x 2 + 6x + 6 (x+ 3)2 − 3 dx = dt ∫ dt || ∘ ------|| = − 8 √-2-----= − 8ln|t + t2 − 3|+ C = | t − 3 ∘ ------------| = − 8 ln ||x + 3 + x 2 + 6x + 6||+ C .](https://img.zadania.info/zad/9455758/HzadR3x.gif)
Mamy więc
![∫ | | -----5x+--2---- ∘ --2--------- | ∘ -2---------| √ 2x2 +-8x-−-1dx = 3 x + 6x + 6− 8ln|x + 3 + x + 6x+ 6|+ C](https://img.zadania.info/zad/9455758/HzadR4x.gif)
Odpowiedź: