Zadanie nr 9515621

Oblicz całkę ∫ √ -2---------- x x − 2x + 6dx .

Rozwiązanie

Rozbijamy wyrażenie pod całką na dwie części tak, aby otrzymać pochodną trójmianu, który znajduje się pod pierwiastkiem.

∫ ∘ ------------ ∫ ∘ ------------ ∫ ∘ ------------ x x2 − 2x + 6dx = 1- (2x − 2 ) x2 − 2x + 6dx + x 2 − 2x + 6dx. 2

Pierwszą całkę liczymy podstawiając za trójmian pod pierwiastkiem

∫ | | ∫ 1- ∘ --2--------- ||t = x2 − 2x + 6|| 1- √ - 2 (2x− 2) x − 2x + 6dx = |dt = (2x − 2)dx| = 2 tdt = ∫ ∘ --------------- = 1- t12dt = 1t32 + C = 1- (x2 − 2x+ 6)3 + C. 2 3 3

Drugą całkę policzymy korzystając ze wzoru

∫ ∘ ------- x ∘ ------- k ∘ ------- x 2 + kdx = -- x2 + k + --ln|x + x2 + k|+ C . 2 2

Liczymy

∫ ∘ ------------ ∫ ∘ ------------- ||t = x− 1|| x2 − 2x + 6dx = (x− 1)2 + 5dx = || || = ∫ dt = dx ∘ -2---- t∘ 2----- 5- ∘ -2---- = t + 5dt = 2 t + 5 + 2 ln|t+ t + 5|+ C = x − 1 ∘ ------------ 5 ∘ ------------ = ------ x2 − 2x + 6 + --ln|x − 1 + x 2 − 2x + 6|+ C . 2 2

Mamy więc

∫ ∘ ------------ x 1 + 4x − x 2dx = --------------- 1-∘ 2 3 x-−-1-∘ -2---------- 5- ∘ -2---------- = 3 (x − 2x + 6) + 2 x − 2x + 6 + 2 ln |x − 1 + x − 2x+ 6|+ C .

Odpowiedź: ∘ --------------- √ ------------ √ ------------ 1 (x2 − 2x + 6)3 + x−-1 x2 − 2x + 6 + 5 ln |x− 1+ x2 − 2x + 6|+ C 3 2 2