Zadanie nr 2939159
Czy zbiór jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ? Jeśli tak to znaleźć jej bazę.
Rozwiązanie
Musimy się zastanowić, czy podany zbiór jest zamknięty ze względu sumę i mnożenie przez skalar. Aby nie mieć dwóch warunków, będziemy sprawdzać, czy
gdzie i .
Jeżeli
to
oraz
Zatem i jest podprzestrzenią liniową.
Przy wyznaczaniu bazy będziemy korzystać z bazy standardowej:
Bazą tej podprzestrzeni jest układ (należy sobie myśleć, że podany warunek pozwala jednoznacznie wyliczyć w zależności od pozostałych współrzędnych, które mogą być zupełnie dowolne)
Sprawdźmy, że wektory te są liniowo niezależne.
Z liniowej niezależności wektorów mamy
co dowodzi liniowej niezależności wektorów . Musimy jeszcze zobaczyć, że generują one . Jeżeli to ponieważ mamy
Sposób II
Tym razem skorzystamy z faktu, że jądro odwzorowania liniowego jest podprzestrzenią liniową. W ten sposób łatwo możemy pokazywać, że zbiory wektorów tworzą podprzestrzenie.
Takie podejście ma jeszcze jedną zaletę, bo ze wzoru
będziemy wiedzieć jaki jest wymiar przestrzeni . W wszystkich poniższych przykładach będzie ’na’, więc
Dzięki temu znajdując bazę nie musimy sprawdzać, czy jej wektory są liniowo niezależne – wystarczy tylko, żeby generowały i żeby była ich odpowiednia ilość.
Rozpatrzmy odwzorowanie liniowe
dane wzorem
Jego jądro to dokładnie wektory spełniające warunek
Jest jasne, że to odwzorowanie jest ’na’, więc
Bazę wyznaczamy jak w poprzednim sposobie, ale nie musimy sprawdzać liniowej niezależności wektorów.
Sposób III
Jeszcze inny sposób to skorzystanie z ogólnego faktu, że rozwiązania jednorodnego układu równań tworzą podprzestrzeń liniową. Wszystkie podane podprzestrzenie są tego typu. Używając tej metody można również wyznaczyć wektory bazowe jako rozwiązania podstawowe odpowiedniego układu równań.