/Studia/Algebra liniowa/Przestrzenie liniowe/W R^n

Zadanie nr 2939159

Czy zbiór V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni 2n R ? Jeśli tak to znaleźć jej bazę.

V = { (x1,...,x2n) ∈ R 2n : x1 + x2 + x3 + ...+ xn = xn+1 + ...+ x 2n }.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy się zastanowić, czy podany zbiór V jest zamknięty ze względu sumę i mnożenie przez skalar. Aby nie mieć dwóch warunków, będziemy sprawdzać, czy

αv + βw ∈ V ,

gdzie α,β ∈ R i v,w ∈ V .

Jeżeli

v = (v 1,v2,v3,...,v2n),w = (w1,w 2,w 3,...,w 2n) ∈ V

to

αv + βw = (αv ,αv ,αv ,...,αv )+ (βw ,βw ,βw ,...,βw ) = 1 2 3 2n 1 2 3 2n (αv1 + βw 1,αv 2 + βw 2,αv 3 + βw 3,...,αv 2n + βw 2n ) ∈ V .

oraz

(αv + βw )+ (αv + βw ) + ⋅⋅⋅ + (αv + βw ) = 1 1 2 2 n n = α (v1 + v2 + ...+ vn) + β (w 1 + w 2 + ...+ wn ) = = α (v + v + ... + v ) + β(w + w + ...+ w ) = n+1 n+ 2 2n n+1 n+2 2n = (αvn +1 + βwn + 1)+ (αvn +2 + βwn +2) + ⋅⋅⋅ + (αv2n + βw 2n).

Zatem αv + βw ∈ V i V jest podprzestrzenią liniową.

Przy wyznaczaniu bazy będziemy korzystać z bazy standardowej:

e = (1,0,...,0) 1 e2 = (0,1,...,0) ... e2n = (0,0,...,1).

Bazą tej podprzestrzeni jest układ (należy sobie myśleć, że podany warunek pozwala jednoznacznie wyliczyć x 2n w zależności od pozostałych współrzędnych, które mogą być zupełnie dowolne)

f = e + e ,f = e + e ,...,f = e + e , 1 1 2n 2 2 2n n n 2n fn +1 = en+1 − e2n,...,f2n−1 = e2n− 1 − e2n.

Sprawdźmy, że wektory te są liniowo niezależne.

0 = α (e + e )+ α (e + e ) + ⋅⋅⋅+ α (e + e )+ 1 1 2n 2 2 2n n n 2n + αn+1(en+ 1 − e2n) + ⋅⋅⋅α 2n− 1(e2n−1 − e2n) 0 = α e + α e + ⋅⋅⋅α e + (α + ⋅⋅ ⋅+ αn − α − ⋅⋅⋅− α )e 1 1 2 2 2n−1 2n− 1 1 n+1 2n−1 2n

Z liniowej niezależności wektorów e1,e2,...,e2n mamy

α1 = α2 = ⋅ ⋅⋅ = α 2n−1 = 0

co dowodzi liniowej niezależności wektorów f1,...,f2n−1 . Musimy jeszcze zobaczyć, że generują one V . Jeżeli v = (v ,v2,v3,...,v2n) ∈ V 1 to ponieważ v1 + v2 + v3 + ...+ vn = vn+ 1 + ...+ v2n mamy

v = v1f1 + v 2f2 + ⋅ ⋅⋅vnfn + vn+ 1fn+1 + ⋅⋅⋅+ v 2n−1f2n−1.

Sposób II

Tym razem skorzystamy z faktu, że jądro odwzorowania liniowego jest podprzestrzenią liniową. W ten sposób łatwo możemy pokazywać, że zbiory wektorów tworzą podprzestrzenie.

Takie podejście ma jeszcze jedną zaletę, bo ze wzoru

dim im f + d im kerf = dim R 2n = 2n .

będziemy wiedzieć jaki jest wymiar przestrzeni V . W wszystkich poniższych przykładach f będzie ’na’, więc

d im kerf = 2n − d im im f.

Dzięki temu znajdując bazę nie musimy sprawdzać, czy jej wektory są liniowo niezależne – wystarczy tylko, żeby generowały V i żeby była ich odpowiednia ilość.

Rozpatrzmy odwzorowanie liniowe

2n f : R → R

dane wzorem

f(x1,...,x2n) = x 1 + x 2 + ⋅ ⋅⋅+ xn − xn +1 − ⋅⋅⋅− x 2n.

Jego jądro to dokładnie wektory spełniające warunek

x1 + x2 + x3 + ...+ xn = xn+ 1 + ...+ x2n

Jest jasne, że to odwzorowanie jest ’na’, więc

d im V = dim k erf = 2n − 1.

Bazę wyznaczamy jak w poprzednim sposobie, ale nie musimy sprawdzać liniowej niezależności wektorów.

Sposób III

Jeszcze inny sposób to skorzystanie z ogólnego faktu, że rozwiązania jednorodnego układu równań tworzą podprzestrzeń liniową. Wszystkie podane podprzestrzenie są tego typu. Używając tej metody można również wyznaczyć wektory bazowe jako rozwiązania podstawowe odpowiedniego układu równań.

Wersja PDF