/Studia/Algebra liniowa/Przestrzenie liniowe/W R^n

Zadanie nr 6271830

Określić wymiar i wskazać przykładową bazę przestrzeni generowanej przez wektory:

(2 ,1,− 1,3,5),(1,3,2,− 2,1),(3,4,1,1 ,6),(1,− 2,− 3,5,4).
Wersja PDF

Rozwiązanie

Wstawimy wektory w macierz (pionowo) i policzymy jej rząd wykonując tylko operacje na kolumnach. Otrzymane na końcu wektory liniowo niezależne będą bazą podprzestrzeni generowanej przez te wektory.

Liczymy

⌊ ⌋ ⌊ ⌋ 2 1 3 1 0 0 0 1 | 1 3 4 − 2| | 5 5 10 − 2| || || || || rk| − 1 2 1 − 3| = rk| 5 5 10 − 3| = ⌈ 3 − 2 1 5 ⌉ ⌈ − 7 − 7 − 14 5 ⌉ 5 1 6 4 KK1−2−2KK44 − 3 − 3 − 6 4 K3/ 2 K 3− 3K4 ⌊ 0 0 0 1 ⌋ ⌊ 0 1 ⌋ | | | | | 5 5 5 − 2| | 5 − 2| = rk|| 5 5 5 − 3|| = rk|| 5 − 3|| = 2 . ⌈ − 7 − 7 − 7 5 ⌉ ⌈ − 7 5 ⌉ − 3 − 3 − 3 4 − 3 4

Zatem wymiar jest równy 2 i za bazę możemy wziąć dwa powyższe wektory (kolumny).  
Odpowiedź: Baza: (0,5,5,− 7,− 3),(1,− 2,− 3,5,4 )

Wersja PDF