Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6746746

Czy zbiór V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni  2n R ? Jeśli tak to znaleźć jej bazę.

V = {(x1,...,x2n) ∈ R 2n : x1 − xn+1 = x2 − xn+2 = ... = xn − x 2n} .
Wersja PDF
Rozwiązanie

Przede wszystkim zauważmy, że podany warunek oznacza, że współrzędne xn+ 2,xn+3,...,x 2n są jednoznacznie wyznaczone przez współrzędne x1,x 2,...,xn+1 . Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy x1 − xn+ 1 = k to

xn+ 2 = x2 − k x = x − k n+ 3 3 ... x2n = xn − k.

Współrzędne x ,x ,...,x 1 2 n+ 1 są natomiast zupełnie dowolne.

Sposób I

Musimy się zastanowić, czy podany zbiór V jest zamknięty ze względu sumę i mnożenie przez skalar. Aby nie mieć dwóch warunków, będziemy sprawdzać, czy

αv + βw ∈ V ,

gdzie α,β ∈ R i v,w ∈ V .

Jeżeli

v = (v1,v2,...,v2n), w = (w 1,w 2,...,w 2n) ∈ V

to

αv + βw = (αv 1 + βw 1,αv2 + βw 2,...,αv2n + βw 2n)

i wektor ten spełnia dany warunek, bo równość

(αv1 + βw 1)− (αvn+1 + βwn + 1) = ⋅⋅⋅ = (αvn + βwn ) − (αv 2n + βw 2n)

możemy zapisać w postaci

α(v1 − vn+ 1)+ β (w 1 − wn +1) = ⋅⋅⋅ = α(vn − v2n) + β(wn − w2n),

co oznacza, że jest ona konsekwencją założenia v,w ∈ V .

Przy wyznaczaniu bazy będziemy korzystać z bazy standardowej:

e = (1,0,...,0) 1 e2 = (0,1,...,0) ... e2n = (0,0,...,1).

Bazą tej podprzestrzeni jest układ (należy myśleć, że x1,...,xn+ 1 są dowolne, a pozostałe współrzędne są wyznaczone z podanego warunku.)

f = e − e − ⋅ ⋅⋅− e 1 1 n+ 2 2n f 2 = e2 − en+ 2 f = e − e 2 3 n+ 3 ... fn = en − e2n fn +1 = en+1 + en+ 2 + ⋅⋅⋅ + e2n.

Sprawdźmy, że układ ten jest liniowo niezależny

0 = α 1f1 + α 2f2 + ⋅ ⋅⋅+ αn+ 1fn+1 0 = α 1e1 + α 2e2 + ⋅⋅⋅ + αn+ 1en+ 1 + (∗),

gdzie (*) jest pewną kombinacją wektorów e ,...,e n+ 2 2n – można ją dokładnie wyliczyć, ale nie ma ona znaczenia (ważne jest tylko, że nie ma tam wektorów e1,...,en+1 ). Z liniowej niezależności wektorów e1,...e2n mamy

α1 = α2 = ⋅⋅⋅ = αn+1 = 0 ,

co dowodzi liniowej niezależności wektorów f1,...,fn+ 1 . Pozostało sprawdzić, że generują one V . Dla dowolnego

v = (v ,v2,...,v 2n) ∈ V 1

mamy

v = v1f1 + v2f2 + ⋅⋅⋅+ vn +1fn+ 1

(to wynika z tego, co już napisaliśmy: współrzędne x1,...,xn+ 1 jednoznacznie wyznaczają pozostałe).

Sposób II

Tym razem skorzystamy z faktu, że jądro odwzorowania liniowego jest podprzestrzenią liniową. W ten sposób łatwo możemy pokazywać, że zbiory wektorów tworzą podprzestrzenie.

Takie podejście ma jeszcze jedną zaletę, bo ze wzoru

dim im f + d im kerf = dim R 2n = 2n .

będziemy wiedzieć jaki jest wymiar przestrzeni V . W wszystkich poniższych przykładach f będzie ’na’, więc

d im kerf = 2n − d im im f.

Dzięki temu znajdując bazę nie musimy sprawdzać, czy jej wektory są liniowo niezależne – wystarczy tylko, żeby generowały V i żeby była ich odpowiednia ilość.

Rozpatrzmy odwzorowanie liniowe

f : R 2n → Rn− 1

dane wzorem

f(x1,...,x2n) = = (x2 − xn+ 2 − x 1 + xn +1,x2 − xn+ 2 − x 1 + xn +1,...,xn − xn+n − x1 + xn+1)

Jego jądro to dokładnie wektory spełniające warunek

x1 − xn+ 1 = x2 − xn+ 2 = ...= xn − x2n

Bazę wyznaczamy jak w poprzednim sposobie, ale nie musimy już wykazywać jej liniowej niezależności.

Sposób III

Jeszcze inny sposób to skorzystanie z ogólnego faktu, że rozwiązania jednorodnego układu równań tworzą podprzestrzeń liniową. Używając tej metody można również wyznaczyć wektory bazowe jako rozwiązania podstawowe odpowiedniego układu równań.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!