/Studia/Algebra liniowa/Przestrzenie liniowe/W R^n

Zadanie nr 9221770

Czy zbiór 4 {(x1,x2,x3,x4) ∈ R : x1 + x3 − 3x4 = 0} jest podprzestrzenią linową R 4 ?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy sprawdzić czy podany zbiór V jest zamknięty ze względu na sumę wektorów:

x,y ∈ V ⇒ x + y ∈ V

oraz na mnożenie przez skalar:

a ∈ R ,x ∈ V ⇒ ax ∈ V .

Niech

x = (x 1,x2,x3,x4),y = (y1,y 2,y 3,y4) ∈ V,

czyli

x1 + x3 − 3x4 = 0 ∧ y1 + y3 − 3y 4 = 0.

Musimy sprawdzić czy tę samą własność mają wektory:

x + y = (x 1 + y 1,x2 + y2,x3 + y3,x4 + y4) ax = (ax1,ax2,ax3,ax 4).

To jednak jest jasne, bo

(x1 + y1)+ (x3 + y3)− 3(x4 + y4) = (x1 + x3 − 3x4) + (y1 + y3 − 3y4) = 0 + 0 = 0 ax1 + ax3 − 3ax4 = a(x1 + x3 − 3x4) = a ⋅0 = 0.

 
Odpowiedź: Tak, jest.

Wersja PDF