/Studia/Algebra liniowa/Liniowa niezależność/W przestrzeni funkcji

Zadanie nr 3258599

Czy w przestrzeni funkcji rzeczywistych układ wektorów {sinx ,cosx,sin 2x,cos 2x} jest liniowo niezależny?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Pokażemy, że ten układ jest liniowo niezależny. Załóżmy, że

α sinx + β cos x+ γ sin 2x + δ cos2x = 0.

Podstawiając x = 0 mamy

β cos0 + δ cos0 = 0 ⇒ β + δ = 0.

Jeżeli natomiast x = π to

β cos π + δ cos2π = 0 ⇒ − β + δ = 0.

Stąd łatwo wynika, że β = δ = 0 i zostaje nam

α sin x + γ sin2x = 0.

Podstawiając x = π- 2 mamy

α ⋅1 + γ ⋅0 = 0 ⇒ α = 0.

Zostaje

γ sin 2x = 0 .

Podstawiając x = π4 dostajemy γ = 0 .  
Odpowiedź: Układ jest liniowo niezależny.

Wersja PDF