/Studia/Algebra liniowa/Przestrzenie liniowe/W przestrzeni wielomianów

Zadanie nr 4950272

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Znaleźć bazę przestrzeni wielomianów rzeczywistych co najwyżej 2-go stopnia spełniających warunek w (1) = w (2) .

Rozwiązanie

Sprawdźmy, co podany warunek oznacza dla trójmianu 2 ax + bx + c .

a+ b+ c = 4a + 2b + c ⇒ b = − 3a .

Zatem za bazę możemy wziąć układ

2 {1,x − 3x }

Sprawdźmy, że układ ten jest liniowo niezależny. Jeżeli

2 α⋅ 1+ β(x − 3x) = 0 ,

to korzystając z tego, że trójmian jest funkcją zerową tylko wtedy gdy jego współczynniki są zerowe, mamy α = β = 0 .

Ponadto jeżeli ax2 − 3ax + c jest dowolnym wielomianem w danej przestrzeni, to

2 2 ax − 3ax + c = a⋅(x − 3x )+ c⋅1.

 
Odpowiedź: {1 ,x 2 − 3x }

Wersja PDF