Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8365716

Niech E będzie dowloną przestrzenią liniową, A niepustym podzbiorem E .

  • Wykazać, że zbiór linA wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów ze zbioru A jest podprzestrzenią przestrzeni E .
  • Wykazać, że linA jest najmniejszą (w sensie inkluzji) podprzestrzenią przestrzeni E , zawierającą zbiór A .
  • Czym jest lin A , gdy A jest podprzestrzenią przestrzeni E ?
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Musimy pokazać, że zbiór linA jest zamknięty ze względu na dodawanie wektorów i na mnożenie ich przez skalar. Jeżeli x = α v + ⋅⋅⋅ α v ,y = β w + ⋅⋅ ⋅β w 1 1 n n 1 1 k k , gdzie v1,...,vn,w 1,...,wk ∈ A , to jest jasne, że x+ y też jest kombinacją wektorów z A . Taką kombinacją jest też γx , dla dowolnego skalara γ .
  • Pokazaliśmy już, że linA jest podprzestrzenią, ponadto zawiera ona A . Niech teraz W będzie dowolną podprzestrzenią zawierającą A . Wtedy W musi zawierać wszystkie kombinacje wektorów z A , czyli musi zawierać linA .
  • Jeżeli A jest podprzestrzenią, to jest zamknięty ze względu na branie kombinacji liniowych, czyli lin A = A .
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!