/Studia/Algebra liniowa/Przestrzenie liniowe/Abstrakcyjne

Zadanie nr 8365716

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Niech E będzie dowloną przestrzenią liniową, A niepustym podzbiorem E .

  • Wykazać, że zbiór linA wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów ze zbioru A jest podprzestrzenią przestrzeni E .
  • Wykazać, że linA jest najmniejszą (w sensie inkluzji) podprzestrzenią przestrzeni E , zawierającą zbiór A .
  • Czym jest lin A , gdy A jest podprzestrzenią przestrzeni E ?

Rozwiązanie

  • Musimy pokazać, że zbiór linA jest zamknięty ze względu na dodawanie wektorów i na mnożenie ich przez skalar. Jeżeli x = α v + ⋅⋅⋅ α v ,y = β w + ⋅⋅ ⋅β w 1 1 n n 1 1 k k , gdzie v1,...,vn,w 1,...,wk ∈ A , to jest jasne, że x+ y też jest kombinacją wektorów z A . Taką kombinacją jest też γx , dla dowolnego skalara γ .
  • Pokazaliśmy już, że linA jest podprzestrzenią, ponadto zawiera ona A . Niech teraz W będzie dowolną podprzestrzenią zawierającą A . Wtedy W musi zawierać wszystkie kombinacje wektorów z A , czyli musi zawierać linA .
  • Jeżeli A jest podprzestrzenią, to jest zamknięty ze względu na branie kombinacji liniowych, czyli lin A = A .
Wersja PDF