Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2672743

Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ABC ma miarę  ∘ 30 . Uzasadnij, że pole trójkąta jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta równobocznego o boku równym podstawie trójkąta ABC .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że jeżeli zbudujemy (narysujemy) trójkąt równoboczny ABS o boku równym podstawie danego trójkąta równoramiennego, to można go podzielić na 3 trójkąty przystające do trójkąta ABC . W takim razie rzeczywiście

PABC = 1PABS . 3

PIC

Sposób II

Oznaczmy długość podstawy trójkąta ABC przez 2a i niech D będzie środkiem podstawy AB . Przy tych oznaczeniach pole trójkąta równobocznego o podstawie AB jest równe

 2√ -- P = (2a)---3-= a2√ 3-. 4

Zauważmy, że z trójkątów ADC i BDC można zbudować trójkąt równoboczny AEC o wysokości AD (prawy rysunek). Jeżeli przez x oznaczymy długość boku trójkąta AEC , to ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego mamy

x√ 3- 2 -----= a / ⋅ √--- 2 3 2a x = √---. 3

Korzystamy teraz ponownie ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

 ( )2 √ -- √2a3 3 1 √ -- 1 PABC = PAEC = -----------= --a2 3 = -P. 4 3 3
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!