Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5446397

Wykaż, że jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt ten jest równoboczny.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt równoramienny.


PIC


Niech |AB | = 2a i ∡ACB = 2α . Na mocy twierdzenia sinusów mamy

2R = --AB--- = --2a-- ⇒ R = --a--. sin∡C sin 2α sin 2α

Sposób I

Z trójkąta prostokątnego ADC mamy

AD AD a ----= sinα ⇒ AC = -----= -----. AC sin α sin α

Promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABC obliczamy ze wzoru na pole P = pr , gdzie

 AB + BC + AC a asin α+ a p = ----------------= a+ AC = a + -----= ----------. 2 sin α sin α

jest połową obwodu trójkąta. Mamy zatem

 1 1-a-- --a- r = P-= 2AC--⋅BC--sin2α- = -2sinα-⋅sinα sin-2α = -----asin2-α-----. p a-sisninα+αa asisninα+αa 2(sinα + 1 )sinα

Mamy więc równanie

 --a-- 2 2 = R-= ----sin-2α----= 2(sin-α+--1)sin-α / ⋅ sin--2α- r 2(sinasiαn+21α)sinα sin22 α 2 2 sin 2α = (sin α + 1) sin α.

Korzystamy teraz ze wzoru na sin 2x oraz z tego, że sin α ⁄= 0 i sin α ⁄= −1 .

 2 2 4 sin α cos α = (sinα + 1) sin α / : sinα 4 sinα (1− sin2 α) = sin α+ 1 4 sinα (1− sin α)(1 + sinα ) = sin α + 1 / : (sinα + 1) 4 sinα (1− sin α) = 1 0 = 4sin2 α− 4sin α+ 1 1 0 = (2sin α− 1)2 ⇒ sin α = --. 2

Stąd  ∘ α = 30 , czyli  ∘ 2α = 60 , a to oznacza, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Sposób II

Tym razem promień okręgu wpisanego obliczymy z trójkąta ADS , gdzie S jest środkiem okręgu wpisanego. Zauważmy najpierw, że

 1- 1- ∘ ∘ α- ∡DAS = 2∡DAC = 2(90 − α ) = 45 − 2 .

Mamy zatem

 ( ) SD--= tg∡DAS ⇒ r = SD = atg 45∘ − α- . AD 2

Przekształćmy trochę otrzymane wyrażenie na promień – korzystamy ze wzorów na sinus/cosinus różnicy.

 ( ) ( ∘ α) sin--45∘-−--α2-- sin-45∘co-s α2-−-sin-α2 co-s45∘ r = atg 45 − 2 = a⋅ cos(45 ∘ − α) = a ⋅co s45∘ cos α + sin α sin 45∘ = 2 2 ( 2 ) cos α2 − sin α2 (cos α2 − sin α2)(co s α2 − sin α2) co s α2 − sin α2 2 = a⋅ ----α------α-= a⋅ -----α------α------α-------α--= a ⋅----2-α------2 α = cos 2 + sin 2 (cos 2 + sin 2)(co s2 − sin 2) cos 2 − sin 2 1− 2sin α2 co s α2 1− sin α = a⋅ ----------------= a⋅ ---------. co sα cosα

Musimy więc rozwiązać równanie

 R -a--- 2 = --= ---sin2α-- r a ⋅ 1−csoisnαα ------cosα------- 2 = sin2α (1− sin α) 4 sinα cos α(1− sin α) = cosα / : cos α 0 = 4sin2 α− 4sin α+ 1 = (2sin α− 1)2.

Stąd  1 sin α = 2 , czyli  ∘ 2α = 6 0 , co oznacza, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!