/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny/Udowodnij...

Zadanie nr 9481075

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (M ⁄= A i M ⁄= C ), a na ramieniu BC wybrano punkt N , w taki sposób, że |AM | = |CN | . Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T . Udowodnij, że 1 |ST | = 2|AB | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że trójkąt ASM jest podobny do trójkąta AEC w skali AM-- AC , więc

AM--- AS = AC ⋅ AE

Podobnie, z podobieństwa trójkątów BT N i BEC mamy

( ) BN-- BC-−-CN--- AM--- BT = BC ⋅BE = BC ⋅BE = 1− AC ⋅ AE .

Stąd

( ) AM AM 1 AS + BT = -----⋅AE + 1 − ----- ⋅AE = AE = --AB AC AC 2

i

1 1 ST = AB − (AS + BT ) = AB − -AB = -AB . 2 2

Sposób II

Na mocy twierdzenia Talesa mamy

-AS-- AE-- BE-- ET-- -ET-- AM = AC = BC = CN = AM .

Zatem AS = ET . Analogicznie

BT--= BE--= AE--= SE--= -SE-, BN BC AC MC BN

czyli BT = SE i

1 AB = AS + SE + ET + BT = 2SE + 2ET ⇒ ST = SE + ET = -AB . 2
Wersja PDF