Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg oraz |AB|=2, |BC|=3, |CD|=4,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 4943885

Zadanie nr 4943885

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg oraz $|AB | = 2, |BC | = 3 , |CD | = 4, |DA | = 5$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Jeżeli oznaczymy $∡BCD = α$ to $∡BAD = 18 0∘ − α$ (własność czworokąta wpisanego w okrąg).

Napiszmy twierdzenia cosinusów w trójkątach $BCD$ i $BAD$ . $CD 2 + CB 2 − 2CD ⋅CB cos α = BD 2 = AD 2 + AB 2 − 2AD ⋅AB cos(180∘ − α) 1 6+ 9 − 2 ⋅4 ⋅3co sα = 25+ 4+ 2⋅5 ⋅2 cosα − 4 = 44cos α / : 4 cosα = − -1-. 11$

Odpowiedź: $cos∡BCD = − 111$
Pole czworokąta $ABCD$ liczymy jako sumę pól trójkątów $BCD$ i $BAD$ , które z kolei obliczmy korzystając ze wzoru sinusem. Zacznijmy od obliczenia $sin α$ . $∘ -------- ∘ ---- √ --- ∘ -------2-- -1-- 1-20 2---30 sin α = 1− co s α = 1− 121 = 1 21 = 11 .$
Liczymy pole
$1 1 PABCD = PBCD + PBAD = -CB ⋅CD sin α + --AD ⋅AB sin (180∘ − α) = 2 √ -2- 1- 1- 2--30- √ --- = 2 (3⋅4 + 2 ⋅5) sin α = 2 ⋅ 22⋅ 11 = 2 30.$

Odpowiedź: $√ --- 2 30$