Zadanie nr 2628312
Dane są liczby wymierne takie, że równanie
ma dwa rozwiązania rzeczywiste. Uzasadnij, że jeżeli jeden z pierwiastków tego równania jest liczbą wymierną to drugi pierwiastek też jest liczbą wymierną.
Rozwiązanie
Sposób I
Pierwiastki danego równania kwadratowego są postaci

Zauważmy, że jeżeli jeden z nich jest liczbą wymierną, to wymierna jest też liczba . Rzeczywiście, jeżeli np.
, gdzie
liczby całkowite to

To jednak oznacza, że obie liczby

są wymierne.
Sposób II
Jeżeli są pierwiastakmi danego równania, to na mocy wzorów Viéte’a mamy

Z prawej strony tej równości jest liczba wymierna, więc jeżeli jeden z pierwiastków jest liczbą wymierną to drugi też.