/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Udowodnij...

Zadanie nr 7564216

Wykaż, że jeśli funkcja kwadratowa 2 f(x) = x + (b − 4)x + c osiąga najmniejszą wartość dla argumentu x = c , to ma dwa rózne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy c ∈ (− ∞ ,0)∪ (1 ,+∞ ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ze wzoru na współrzędną wierzchołka wiemy, że funkcja osiąga najmniejszą wartość w punkcie x = − b−24- . Zatem

− b−-4-= c ⇒ b − 4 = − 2c ⇒ b = 4− 2c. 2

Mamay zatem równanie

2 x − 2cx + c = 0.

Musimy sprawdzić kiedy Δ > 0 .

2 0 < Δ = 4c − 4c = 4c(c− 1 ) c ∈ (− ∞ ,0) ∪ (1,+ ∞ ).

Sposób II

Jak poprzednio dochodzimy do równości:

f(x ) = x2 − 2cx + c

Skoro wiemy, że wierzchołek jest w punkcie x = c , wystarczy sprawdzić kiedy f(c) < 0 .

0 > f(c) = c2 − 2c2 + c = −c (c − 1) c ∈ (− ∞ ,0)∪ (1,+ ∞ ).
Wersja PDF