Zadanie nr 7564216
Wykaż, że jeśli funkcja kwadratowa osiąga najmniejszą wartość dla argumentu
, to ma dwa rózne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Rozwiązanie
Sposób I
Ze wzoru na współrzędną wierzchołka wiemy, że funkcja osiąga najmniejszą wartość w punkcie . Zatem
![− b−-4-= c ⇒ b − 4 = − 2c ⇒ b = 4− 2c. 2](https://img.zadania.info/zad/7564216/HzadR1x.gif)
Mamay zatem równanie
![2 x − 2cx + c = 0.](https://img.zadania.info/zad/7564216/HzadR2x.gif)
Musimy sprawdzić kiedy .
![2 0 < Δ = 4c − 4c = 4c(c− 1 ) c ∈ (− ∞ ,0) ∪ (1,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/7564216/HzadR4x.gif)
Sposób II
Jak poprzednio dochodzimy do równości:
![f(x ) = x2 − 2cx + c](https://img.zadania.info/zad/7564216/HzadR5x.gif)
Skoro wiemy, że wierzchołek jest w punkcie , wystarczy sprawdzić kiedy
.
![0 > f(c) = c2 − 2c2 + c = −c (c − 1) c ∈ (− ∞ ,0)∪ (1,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/7564216/HzadR8x.gif)