/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Udowodnij...

Zadanie nr 8090614

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a , b , c równanie x 2 + (a + b)x + ab − c2 = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie. Kiedy równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, o tym ile ma ono rozwiązań decyduje Δ .

Δ = (a + b)2 − 4(ab − c2) = a2 + b2 − 2ab + 4c2 = (a − b)2 + 4c2.

Widać więc, że zawsze Δ ≥ 0 , czyli równanie ma zawsze rozwiązanie.

Aby równanie miało dokładnie jedno rozwiązanie, musi być Δ = 0 , czyli a = b i c = 0 .  
Odpowiedź: Jedno rozwiązanie jest dla a = b i c = 0

Wersja PDF