/Konkursy/Zadania/Liczby/Pierwiastki

Zadanie nr 2557861

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że liczba ∘ -----√--- √ -- a = 6 − 2 5 − 5 jest całkowita.

Rozwiązanie

Sposób I

Liczymy

∘ ------------------ ∘ ----------- a = 1− 2√ 5+ (√ 5)2 − √ 5 = (1 − √ 5)2 − √ 5-= √ -- √ -- √ -- √ -- = |1 − 5|− 5 = 5 − 1 − 5 = − 1.

Sposób II

Liczymy

√ -- ∘ -----√--- a+ 5 = 6 − 2 5 /()2 2 √ -- √ -- a + 2a 5+ 5 = 6 − 2 5 2 √ -- √ -- a − 1+ 2 5a+ 2√ 5-= 0 (a− 1)(a+ 1)+ 2 5(a+ 1) = 0 √ -- (a+ 1)(a− 1+ 2 5) = 0 √ -- a = − 1 ∨ a = 1 − 2 5.

Aby wykluczyć drugą możliwość wystarczy sprawdzić, że wtedy √ -- a + 5 < 0 co nie jest możliwe (pierwsza równość powyżej).  
Odpowiedź: a = − 1

Wersja PDF