/Konkursy/Zadania/Liczby/Pierwiastki

Zadanie nr 6826095

Wykaż, że jeżeli a > 0 i b > 0 oraz √ -- √ -- a + b = b + a to a = b lub √ -- √ -- a + b = 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy podaną równość (korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów)

√ -- √ -- a+ b = b+ a √ -- √ -- √ a− √ b-= a−√ -b √ -- a− b = ( a)2 − ( b)2 √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- a− b = ( a− b)( a+ b).

Zatem albo √ -- √ -- a = b , czyli a = b , albo możemy podzielić równość stronami przez √ -- √ -- ( a− b ) . Mamy wtedy

√ -- √ -- 1 = a + b.
Wersja PDF