/Konkursy/Zadania/Liczby/Pierwiastki

Zadanie nr 9529884

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że

∘ -----√--- ∘ -----√----- ∘ ------√--- 4 − 2 3 + 8 − 2 15+ 14 − 6 5 = 2.

Rozwiązanie

Próbujemy pod każdym z pierwiastków dostrzec wzór skróconego mnożenia

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

na kwadrat różnicy.

∘ --------- ∘ ------------- ∘ ----------- 4 − 2√ 3-= 3 − 2√ 3-+ 1 = (√ 3− 1)2 = |√ 3− 1| = √ 3− 1 ∘ ---------- ∘ -------------- ∘ ------------- √ --- √ --- √ -- √ --2 √ -- √ -- √ -- √ -- 8 − 2 15 = 5 − 2 15 + 3 = ( 5 − 3) = | 5 − 3| = 5 − 3 ∘ ------√--- ∘ --------√------ ∘ ----√------ √ -- √ -- 14 − 6 5 = 9 − 2 ⋅3 5 + 5 = (3− 5)2 = |3− 5 | = 3− 5.

Stąd

∘ -----√--- ∘ -----√---- ∘ ------√--- √ -- √ -- √ -- √ -- 4 − 2 3 + 8− 2 15+ 14 − 6 5 = ( 3− 1)+ ( 5− 3)+ (3 − 5 ) = = 3− 1 = 2.
Wersja PDF