/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Z tangensem

Zadanie nr 2934361

Dana jest funkcja 1+tgx- f(x ) = ctgx dla π- π- x ∈ ⟨6 ,3⟩ .

  • Rozwiąż równanie f (x) = 2 .
  • Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x) .
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Korzystając z równości ctg x = t1gx mamy
    1+--tg-x-= 2 -1- tgx tgx + tg2 x = 2.

    Podstawiając t = tg x mamy

    2 t + t− 2 = 0 Δ = 1+ 8 = 9 t = −-1-−-3 = − 2 ∨ t = −-1-+-3 = 1 . 2 2

    Ze względu na dziedzinę funkcji f (x) tangens jest dodatni, więc mamy

    π tgx = 1 ⇒ x = --. 4

     
    Odpowiedź: π4-

  • Z poprzedniego podpunktu wiemy, że
    2 f(x ) = t+ t = g (t),

    gdzie t = tgx . Ponieważ x ∈ ⟨π, π-⟩ 6 3 , t przyjmuje wartości z przedziału

    ⟨ ( ) ( ) ⟩ ⟨ √ -- ⟩ π- π- ---3 √ -- tg 6 ,tg 3 = 3 , 3 .

    (tu korzystamy z tego, że tangens jest rosnący na tym przedziale). Musimy więc wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji g(t) = t+ t2 na przedziale √3-√ -- ⟨ 3 , 3 ⟩ . Ponieważ wierzchołek tej paraboli jest w punkcie tw = − 12 , w interesującym nas przedziale jest to funkcja rosnąca. Zatem najmniejszą wartość przyjmuje w lewym końcu przedziału, czyli dla √ 3 t = -3- , co nam daje

    √ -- (π-) --3- 1- fmin = f 6 = 3 + 3 .

     
    Odpowiedź: √- f = f( π) = -3-+ 1 min 6 3 3

Wersja PDF